Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40062 / 41855
↖ ↑ ↗
← S 44.586555°
E 40.067139°		 ← 435.04 m → S 44.586555°
E 40.072632°		 →
↑
435.01 m
↓
↑
435.01 m
↓
S 44.590467°
E 40.067139°		 ← 435.01 m →
189 242 m²		 S 44.590467°
E 40.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611305236816406 y=0.638664245605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611305236816406 × 216)
    floor (0.611305236816406 × 65536)
    floor (40062.5)     		tx = 40062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638664245605469 × 216)
    floor (0.638664245605469 × 65536)
    floor (41855.5)     		ty = 41855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40062 / 41855 ti = "16/40062/41855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40062/41855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40062 ÷ 216
    40062 ÷ 65536     		x = 0.611297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41855 ÷ 216
    41855 ÷ 65536     		y = 0.638656616210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611297607421875 × 2 - 1) × π
    0.22259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69930349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638656616210938 × 2 - 1) × π
    -0.277313232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.871205213694901
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69930349} λ = 0.69930349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871205213694901))-π/2
    2×atan(0.418446927252737)-π/2
    2×0.396307068817795-π/2
    0.79261413763559-1.57079632675     		φ = -0.77818219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69930349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.067139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77818219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.586555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40062 KachelY 41855 0.69930349 -0.77818219 40.067139 -44.586555
    Oben rechts KachelX + 1 40063 KachelY 41855 0.69939937 -0.77818219 40.072632 -44.586555
    Unten links KachelX 40062 KachelY + 1 41856 0.69930349 -0.77825047 40.067139 -44.590467
    Unten rechts KachelX + 1 40063 KachelY + 1 41856 0.69939937 -0.77825047 40.072632 -44.590467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77818219--0.77825047) × R
    6.82800000000316e-05 × 6371000     		dl = 435.011880000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77818219--0.77825047) × R
    6.82800000000316e-05 × 6371000     		dr = 435.011880000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69930349-0.69939937) × cos(-0.77818219) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.71219079108639 × 6371000     		do = 435.042798777207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69930349-0.69939937) × cos(-0.77825047) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.712142857825438 × 6371000     		du = 435.013518673813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77818219)-sin(-0.77825047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71219079108639-0.712142857825438)×R²
    abs(0.69939937-0.69930349)×4.79332609524263e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79332609524263e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79332609524263e-05×40589641000000     		ar = 189242.417253706m²