Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40062 / 41835
↖ ↑ ↗
← S 44.508259°
E 40.067139°		 ← 435.63 m → S 44.508259°
E 40.072632°		 →
↑
435.59 m
↓
↑
435.59 m
↓
S 44.512176°
E 40.067139°		 ← 435.60 m →
189 747 m²		 S 44.512176°
E 40.072632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611305236816406 y=0.638359069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611305236816406 × 216)
    floor (0.611305236816406 × 65536)
    floor (40062.5)     		tx = 40062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638359069824219 × 216)
    floor (0.638359069824219 × 65536)
    floor (41835.5)     		ty = 41835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40062 / 41835 ti = "16/40062/41835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40062/41835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40062 ÷ 216
    40062 ÷ 65536     		x = 0.611297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41835 ÷ 216
    41835 ÷ 65536     		y = 0.638351440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611297607421875 × 2 - 1) × π
    0.22259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69930349
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638351440429688 × 2 - 1) × π
    -0.276702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.869287737710098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69930349} λ = 0.69930349}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869287737710098))-π/2
    2×atan(0.41925005893344)-π/2
    2×0.396990332722695-π/2
    0.793980665445391-1.57079632675     		φ = -0.77681566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69930349} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.067139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77681566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.508259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40062 KachelY 41835 0.69930349 -0.77681566 40.067139 -44.508259
    Oben rechts KachelX + 1 40063 KachelY 41835 0.69939937 -0.77681566 40.072632 -44.508259
    Unten links KachelX 40062 KachelY + 1 41836 0.69930349 -0.77688403 40.067139 -44.512176
    Unten rechts KachelX + 1 40063 KachelY + 1 41836 0.69939937 -0.77688403 40.072632 -44.512176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77681566--0.77688403) × R
    6.83699999999288e-05 × 6371000     		dl = 435.585269999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77681566--0.77688403) × R
    6.83699999999288e-05 × 6371000     		dr = 435.585269999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69930349-0.69939937) × cos(-0.77681566) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.713149410677145 × 6371000     		do = 435.628372972976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69930349-0.69939937) × cos(-0.77688403) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.71310148081537 × 6371000     		du = 435.599094945975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77681566)-sin(-0.77688403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713149410677145-0.71310148081537)×R²
    abs(0.69939937-0.69930349)×4.79298617751533e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79298617751533e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79298617751533e-05×40589641000000     		ar = 189746.925996186m²