Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40061 / 41836
↖ ↑ ↗
← S 44.512176°
E 40.061646°		 ← 435.55 m → S 44.512176°
E 40.067139°		 →
↑
435.59 m
↓
↑
435.59 m
↓
S 44.516093°
E 40.061646°		 ← 435.52 m →
189 714 m²		 S 44.516093°
E 40.067139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611289978027344 y=0.638374328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611289978027344 × 216)
    floor (0.611289978027344 × 65536)
    floor (40061.5)     		tx = 40061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638374328613281 × 216)
    floor (0.638374328613281 × 65536)
    floor (41836.5)     		ty = 41836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40061 / 41836 ti = "16/40061/41836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40061/41836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40061 ÷ 216
    40061 ÷ 65536     		x = 0.611282348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41836 ÷ 216
    41836 ÷ 65536     		y = 0.63836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611282348632812 × 2 - 1) × π
    0.222564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69920762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63836669921875 × 2 - 1) × π
    -0.2767333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.869383611509338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69920762} λ = 0.69920762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869383611509338))-π/2
    2×atan(0.419209865764225)-π/2
    2×0.396956147699832-π/2
    0.793912295399664-1.57079632675     		φ = -0.77688403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69920762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.061646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77688403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.512176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40061 KachelY 41836 0.69920762 -0.77688403 40.061646 -44.512176
    Oben rechts KachelX + 1 40062 KachelY 41836 0.69930349 -0.77688403 40.067139 -44.512176
    Unten links KachelX 40061 KachelY + 1 41837 0.69920762 -0.77695240 40.061646 -44.516093
    Unten rechts KachelX + 1 40062 KachelY + 1 41837 0.69930349 -0.77695240 40.067139 -44.516093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77688403--0.77695240) × R
    6.83700000000398e-05 × 6371000     		dl = 435.585270000254m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77688403--0.77695240) × R
    6.83700000000398e-05 × 6371000     		dr = 435.585270000254m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69920762-0.69930349) × cos(-0.77688403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71310148081537 × 6371000     		do = 435.553663250908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69920762-0.69930349) × cos(-0.77695240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.713053547620233 × 6371000     		du = 435.524386241541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77688403)-sin(-0.77695240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71310148081537-0.713053547620233)×R²
    abs(0.69930349-0.69920762)×4.79331951372952e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79331951372952e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79331951372952e-05×40589641000000     		ar = 189714.383763754m²