Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40061 / 41175
↖ ↑ ↗
← S 41.865470°
E 40.061646°		 ← 454.86 m → S 41.865470°
E 40.067139°		 →
↑
454.83 m
↓
↑
454.83 m
↓
S 41.869561°
E 40.061646°		 ← 454.83 m →
206 876 m²		 S 41.869561°
E 40.067139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611289978027344 y=0.628288269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611289978027344 × 216)
    floor (0.611289978027344 × 65536)
    floor (40061.5)     		tx = 40061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628288269042969 × 216)
    floor (0.628288269042969 × 65536)
    floor (41175.5)     		ty = 41175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40061 / 41175 ti = "16/40061/41175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40061/41175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40061 ÷ 216
    40061 ÷ 65536     		x = 0.611282348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41175 ÷ 216
    41175 ÷ 65536     		y = 0.628280639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611282348632812 × 2 - 1) × π
    0.222564697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69920762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628280639648438 × 2 - 1) × π
    -0.256561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806011030211624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69920762} λ = 0.69920762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806011030211624))-π/2
    2×atan(0.446636135584)-π/2
    2×0.420053015141221-π/2
    0.840106030282441-1.57079632675     		φ = -0.73069030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69920762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.061646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73069030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.865470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40061 KachelY 41175 0.69920762 -0.73069030 40.061646 -41.865470
    Oben rechts KachelX + 1 40062 KachelY 41175 0.69930349 -0.73069030 40.067139 -41.865470
    Unten links KachelX 40061 KachelY + 1 41176 0.69920762 -0.73076169 40.061646 -41.869561
    Unten rechts KachelX + 1 40062 KachelY + 1 41176 0.69930349 -0.73076169 40.067139 -41.869561
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73069030--0.73076169) × R
    7.13900000000045e-05 × 6371000     		dl = 454.825690000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73069030--0.73076169) × R
    7.13900000000045e-05 × 6371000     		dr = 454.825690000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69920762-0.69930349) × cos(-0.73069030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.744713884729343 × 6371000     		do = 454.862132941862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69920762-0.69930349) × cos(-0.73076169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.744666238297177 × 6371000     		du = 454.833031083812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73069030)-sin(-0.73076169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744713884729343-0.744666238297177)×R²
    abs(0.69930349-0.69920762)×4.76464321654824e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76464321654824e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76464321654824e-05×40589641000000     		ar = 206876.365421736m²