Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40061 / 27797
↖ ↑ ↗
← N 71.394783°
W 69.969177°		 ← 97.44 m → N 71.394783°
W 69.966431°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 71.393907°
W 69.969177°		 ← 97.45 m →
9 493 m²		 N 71.393907°
W 69.966431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305644989013672 y=0.212078094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305644989013672 × 217)
    floor (0.305644989013672 × 131072)
    floor (40061.5)     		tx = 40061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212078094482422 × 217)
    floor (0.212078094482422 × 131072)
    floor (27797.5)     		ty = 27797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40061 / 27797 ti = "17/40061/27797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40061/27797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40061 ÷ 217
    40061 ÷ 131072     		x = 0.305641174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27797 ÷ 217
    27797 ÷ 131072     		y = 0.212074279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305641174316406 × 2 - 1) × π
    -0.388717651367188 × 3.1415926535     		Λ = -1.22119252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212074279785156 × 2 - 1) × π
    0.575851440429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.8090906547613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22119252} λ = -1.22119252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8090906547613))-π/2
    2×atan(6.10489345157743)-π/2
    2×1.40843518490873-π/2
    2.81687036981746-1.57079632675     		φ = 1.24607404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22119252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.969177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24607404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.394783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40061 KachelY 27797 -1.22119252 1.24607404 -69.969177 71.394783
    Oben rechts KachelX + 1 40062 KachelY 27797 -1.22114458 1.24607404 -69.966431 71.394783
    Unten links KachelX 40061 KachelY + 1 27798 -1.22119252 1.24605875 -69.969177 71.393907
    Unten rechts KachelX + 1 40062 KachelY + 1 27798 -1.22114458 1.24605875 -69.966431 71.393907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24607404-1.24605875) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dl = 97.4125900007146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24607404-1.24605875) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dr = 97.4125900007146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22119252--1.22114458) × cos(1.24607404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319045598426548 × 6371000     		do = 97.4447379931072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22119252--1.22114458) × cos(1.24605875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319060089324161 × 6371000     		du = 97.4491638862342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24607404)-sin(1.24605875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319045598426548-0.319060089324161)×R²
    abs(-1.22114458--1.22119252)×1.44908976139058e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.44908976139058e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.44908976139058e-05×40589641000000     		ar = 9492.55987894872m²