Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40060 / 41854
↖ ↑ ↗
← S 44.582643°
E 40.056152°		 ← 435.07 m → S 44.582643°
E 40.061646°		 →
↑
435.01 m
↓
↑
435.01 m
↓
S 44.586555°
E 40.056152°		 ← 435.04 m →
189 255 m²		 S 44.586555°
E 40.061646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611274719238281 y=0.638648986816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611274719238281 × 216)
    floor (0.611274719238281 × 65536)
    floor (40060.5)     		tx = 40060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638648986816406 × 216)
    floor (0.638648986816406 × 65536)
    floor (41854.5)     		ty = 41854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40060 / 41854 ti = "16/40060/41854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40060/41854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40060 ÷ 216
    40060 ÷ 65536     		x = 0.61126708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41854 ÷ 216
    41854 ÷ 65536     		y = 0.638641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61126708984375 × 2 - 1) × π
    0.2225341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69911174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638641357421875 × 2 - 1) × π
    -0.27728271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.87110933989566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69911174} λ = 0.69911174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87110933989566))-π/2
    2×atan(0.418487047272632)-π/2
    2×0.396341210185139-π/2
    0.792682420370278-1.57079632675     		φ = -0.77811391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69911174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.056152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77811391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.582643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40060 KachelY 41854 0.69911174 -0.77811391 40.056152 -44.582643
    Oben rechts KachelX + 1 40061 KachelY 41854 0.69920762 -0.77811391 40.061646 -44.582643
    Unten links KachelX 40060 KachelY + 1 41855 0.69911174 -0.77818219 40.056152 -44.586555
    Unten rechts KachelX + 1 40061 KachelY + 1 41855 0.69920762 -0.77818219 40.061646 -44.586555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77811391--0.77818219) × R
    6.82800000000316e-05 × 6371000     		dl = 435.011880000202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77811391--0.77818219) × R
    6.82800000000316e-05 × 6371000     		dr = 435.011880000202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69911174-0.69920762) × cos(-0.77811391) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.712238721026996 × 6371000     		do = 435.072076852866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69911174-0.69920762) × cos(-0.77818219) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.71219079108639 × 6371000     		du = 435.042798777711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77811391)-sin(-0.77818219))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712238721026996-0.71219079108639)×R²
    abs(0.69920762-0.69911174)×4.79299406060951e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79299406060951e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79299406060951e-05×40589641000000     		ar = 189255.154005675m²