Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40060 / 27795
↖ ↑ ↗
← N 71.396536°
W 69.971924°		 ← 97.42 m → N 71.396536°
W 69.969177°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
N 71.395660°
W 69.971924°		 ← 97.42 m →
9 490 m²		 N 71.395660°
W 69.969177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305637359619141 y=0.212062835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305637359619141 × 217)
    floor (0.305637359619141 × 131072)
    floor (40060.5)     		tx = 40060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212062835693359 × 217)
    floor (0.212062835693359 × 131072)
    floor (27795.5)     		ty = 27795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40060 / 27795 ti = "17/40060/27795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40060/27795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40060 ÷ 217
    40060 ÷ 131072     		x = 0.305633544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27795 ÷ 217
    27795 ÷ 131072     		y = 0.212059020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.38873291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.22124045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212059020996094 × 2 - 1) × π
    0.575881958007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.80918652856054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22124045} λ = -1.22124045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80918652856054))-π/2
    2×atan(6.10547877896492)-π/2
    2×1.4084504782706-π/2
    2.8169009565412-1.57079632675     		φ = 1.24610463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22124045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.971924°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24610463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.396536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40060 KachelY 27795 -1.22124045 1.24610463 -69.971924 71.396536
    Oben rechts KachelX + 1 40061 KachelY 27795 -1.22119252 1.24610463 -69.969177 71.396536
    Unten links KachelX 40060 KachelY + 1 27796 -1.22124045 1.24608934 -69.971924 71.395660
    Unten rechts KachelX + 1 40061 KachelY + 1 27796 -1.22119252 1.24608934 -69.969177 71.395660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24610463-1.24608934) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dl = 97.4125900007146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24610463-1.24608934) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dr = 97.4125900007146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22124045--1.22119252) × cos(1.24610463) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319016606930069 × 6371000     		do = 97.4155586959375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22124045--1.22119252) × cos(1.24608934) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319031097976904 × 6371000     		du = 97.4199837114158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24610463)-sin(1.24608934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319016606930069-0.319031097976904)×R²
    abs(-1.22119252--1.22124045)×1.44910468348192e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.44910468348192e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.44910468348192e-05×40589641000000     		ar = 9489.71740525552m²