Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40059 / 9451
↖ ↑ ↗
← N 77.792000°
E 40.050659°		 ← 129.16 m → N 77.792000°
E 40.056152°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
N 77.790838°
E 40.050659°		 ← 129.17 m →
16 688 m²		 N 77.790838°
E 40.056152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611259460449219 y=0.144218444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611259460449219 × 216)
    floor (0.611259460449219 × 65536)
    floor (40059.5)     		tx = 40059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144218444824219 × 216)
    floor (0.144218444824219 × 65536)
    floor (9451.5)     		ty = 9451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40059 / 9451 ti = "16/40059/9451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40059/9451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40059 ÷ 216
    40059 ÷ 65536     		x = 0.611251831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9451 ÷ 216
    9451 ÷ 65536     		y = 0.144210815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611251831054688 × 2 - 1) × π
    0.222503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69901587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144210815429688 × 2 - 1) × π
    0.711578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2354893768817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69901587} λ = 0.69901587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2354893768817))-π/2
    2×atan(9.35105692371612)-π/2
    2×1.4642614276683-π/2
    2.92852285533661-1.57079632675     		φ = 1.35772653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69901587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.050659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35772653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.792000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40059 KachelY 9451 0.69901587 1.35772653 40.050659 77.792000
    Oben rechts KachelX + 1 40060 KachelY 9451 0.69911174 1.35772653 40.056152 77.792000
    Unten links KachelX 40059 KachelY + 1 9452 0.69901587 1.35770625 40.050659 77.790838
    Unten rechts KachelX + 1 40060 KachelY + 1 9452 0.69911174 1.35770625 40.056152 77.790838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35772653-1.35770625) × R
    2.02800000002057e-05 × 6371000     		dl = 129.20388000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35772653-1.35770625) × R
    2.02800000002057e-05 × 6371000     		dr = 129.20388000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69901587-0.69911174) × cos(1.35772653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211461269071862 × 6371000     		do = 129.15795697777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69901587-0.69911174) × cos(1.35770625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21148109042412 × 6371000     		du = 129.170063617314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35772653)-sin(1.35770625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211461269071862-0.21148109042412)×R²
    abs(0.69911174-0.69901587)×1.98213522576984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98213522576984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98213522576984e-05×40589641000000     		ar = 16688.4912875622m²