Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40059 / 41309
↖ ↑ ↗
← S 42.411291°
E 40.050659°		 ← 450.96 m → S 42.411291°
E 40.056152°		 →
↑
450.94 m
↓
↑
450.94 m
↓
S 42.415346°
E 40.050659°		 ← 450.93 m →
203 348 m²		 S 42.415346°
E 40.056152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611259460449219 y=0.630332946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611259460449219 × 216)
    floor (0.611259460449219 × 65536)
    floor (40059.5)     		tx = 40059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630332946777344 × 216)
    floor (0.630332946777344 × 65536)
    floor (41309.5)     		ty = 41309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40059 / 41309 ti = "16/40059/41309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40059/41309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40059 ÷ 216
    40059 ÷ 65536     		x = 0.611251831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41309 ÷ 216
    41309 ÷ 65536     		y = 0.630325317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611251831054688 × 2 - 1) × π
    0.222503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69901587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630325317382812 × 2 - 1) × π
    -0.260650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.818858119309799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69901587} λ = 0.69901587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818858119309799))-π/2
    2×atan(0.440934862154504)-π/2
    2×0.41528983361764-π/2
    0.83057966723528-1.57079632675     		φ = -0.74021666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69901587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.050659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74021666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.411291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40059 KachelY 41309 0.69901587 -0.74021666 40.050659 -42.411291
    Oben rechts KachelX + 1 40060 KachelY 41309 0.69911174 -0.74021666 40.056152 -42.411291
    Unten links KachelX 40059 KachelY + 1 41310 0.69901587 -0.74028744 40.050659 -42.415346
    Unten rechts KachelX + 1 40060 KachelY + 1 41310 0.69911174 -0.74028744 40.056152 -42.415346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74021666--0.74028744) × R
    7.0780000000048e-05 × 6371000     		dl = 450.939380000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74021666--0.74028744) × R
    7.0780000000048e-05 × 6371000     		dr = 450.939380000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69901587-0.69911174) × cos(-0.74021666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738322450179366 × 6371000     		do = 450.958322885981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69901587-0.69911174) × cos(-0.74028744) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738274710908155 × 6371000     		du = 450.929164322977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74021666)-sin(-0.74028744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738322450179366-0.738274710908155)×R²
    abs(0.69911174-0.69901587)×4.77392712111557e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77392712111557e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77392712111557e-05×40589641000000     		ar = 203348.292240742m²