Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40058 / 41868
↖ ↑ ↗
← S 44.637391°
E 40.045166°		 ← 434.62 m → S 44.637391°
E 40.050659°		 →
↑
434.57 m
↓
↑
434.57 m
↓
S 44.641300°
E 40.045166°		 ← 434.59 m →
188 863 m²		 S 44.641300°
E 40.050659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611244201660156 y=0.638862609863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611244201660156 × 216)
    floor (0.611244201660156 × 65536)
    floor (40058.5)     		tx = 40058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638862609863281 × 216)
    floor (0.638862609863281 × 65536)
    floor (41868.5)     		ty = 41868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40058 / 41868 ti = "16/40058/41868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40058/41868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40058 ÷ 216
    40058 ÷ 65536     		x = 0.611236572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41868 ÷ 216
    41868 ÷ 65536     		y = 0.63885498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611236572265625 × 2 - 1) × π
    0.22247314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69892000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63885498046875 × 2 - 1) × π
    -0.2777099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.872451573085022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69892000} λ = 0.69892000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872451573085022))-π/2
    2×atan(0.417925716870887)-π/2
    2×0.395863440135265-π/2
    0.79172688027053-1.57079632675     		φ = -0.77906945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69892000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.045166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77906945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.637391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40058 KachelY 41868 0.69892000 -0.77906945 40.045166 -44.637391
    Oben rechts KachelX + 1 40059 KachelY 41868 0.69901587 -0.77906945 40.050659 -44.637391
    Unten links KachelX 40058 KachelY + 1 41869 0.69892000 -0.77913766 40.045166 -44.641300
    Unten rechts KachelX + 1 40059 KachelY + 1 41869 0.69901587 -0.77913766 40.050659 -44.641300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77906945--0.77913766) × R
    6.8209999999902e-05 × 6371000     		dl = 434.565909999375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77906945--0.77913766) × R
    6.8209999999902e-05 × 6371000     		dr = 434.565909999375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69892000-0.69901587) × cos(-0.77906945) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.711567666783088 × 6371000     		do = 434.616828398536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69892000-0.69901587) × cos(-0.77913766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.711519739583068 × 6371000     		du = 434.587555050913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77906945)-sin(-0.77913766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711567666783088-0.711519739583068)×R²
    abs(0.69901587-0.69892000)×4.79272000208919e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79272000208919e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79272000208919e-05×40589641000000     		ar = 188863.297007636m²