Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40055 / 41975
↖ ↑ ↗
← S 45.054121°
E 40.028687°		 ← 431.48 m → S 45.054121°
E 40.034180°		 →
↑
431.51 m
↓
↑
431.51 m
↓
S 45.058001°
E 40.028687°		 ← 431.45 m →
186 182 m²		 S 45.058001°
E 40.034180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611198425292969 y=0.640495300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611198425292969 × 216)
    floor (0.611198425292969 × 65536)
    floor (40055.5)     		tx = 40055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640495300292969 × 216)
    floor (0.640495300292969 × 65536)
    floor (41975.5)     		ty = 41975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40055 / 41975 ti = "16/40055/41975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40055/41975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40055 ÷ 216
    40055 ÷ 65536     		x = 0.611190795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41975 ÷ 216
    41975 ÷ 65536     		y = 0.640487670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611190795898438 × 2 - 1) × π
    0.222381591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69863238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640487670898438 × 2 - 1) × π
    -0.280975341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.882710069603714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69863238} λ = 0.69863238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.882710069603714))-π/2
    2×atan(0.413660342927279)-π/2
    2×0.392226787022767-π/2
    0.784453574045535-1.57079632675     		φ = -0.78634275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69863238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.028687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78634275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.054121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40055 KachelY 41975 0.69863238 -0.78634275 40.028687 -45.054121
    Oben rechts KachelX + 1 40056 KachelY 41975 0.69872825 -0.78634275 40.034180 -45.054121
    Unten links KachelX 40055 KachelY + 1 41976 0.69863238 -0.78641048 40.028687 -45.058001
    Unten rechts KachelX + 1 40056 KachelY + 1 41976 0.69872825 -0.78641048 40.034180 -45.058001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78634275--0.78641048) × R
    6.77300000000436e-05 × 6371000     		dl = 431.507830000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78634275--0.78641048) × R
    6.77300000000436e-05 × 6371000     		dr = 431.507830000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69863238-0.69872825) × cos(-0.78634275) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706438542237976 × 6371000     		do = 431.484021855574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69863238-0.69872825) × cos(-0.78641048) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706390603058289 × 6371000     		du = 431.454741190918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78634275)-sin(-0.78641048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706438542237976-0.706390603058289)×R²
    abs(0.69872825-0.69863238)×4.79391796869288e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79391796869288e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79391796869288e-05×40589641000000     		ar = 186182.416603951m²