Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40053 / 41146
↖ ↑ ↗
← S 41.746726°
E 40.017700°		 ← 455.71 m → S 41.746726°
E 40.023193°		 →
↑
455.72 m
↓
↑
455.72 m
↓
S 41.750824°
E 40.017700°		 ← 455.68 m →
207 667 m²		 S 41.750824°
E 40.023193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611167907714844 y=0.627845764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611167907714844 × 216)
    floor (0.611167907714844 × 65536)
    floor (40053.5)     		tx = 40053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627845764160156 × 216)
    floor (0.627845764160156 × 65536)
    floor (41146.5)     		ty = 41146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40053 / 41146 ti = "16/40053/41146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40053/41146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40053 ÷ 216
    40053 ÷ 65536     		x = 0.611160278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41146 ÷ 216
    41146 ÷ 65536     		y = 0.627838134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611160278320312 × 2 - 1) × π
    0.222320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69844063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.25567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.803230690033661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69844063} λ = 0.69844063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803230690033661))-π/2
    2×atan(0.447879663891482)-π/2
    2×0.421089254472874-π/2
    0.842178508945749-1.57079632675     		φ = -0.72861782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69844063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.017700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72861782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.746726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40053 KachelY 41146 0.69844063 -0.72861782 40.017700 -41.746726
    Oben rechts KachelX + 1 40054 KachelY 41146 0.69853650 -0.72861782 40.023193 -41.746726
    Unten links KachelX 40053 KachelY + 1 41147 0.69844063 -0.72868935 40.017700 -41.750824
    Unten rechts KachelX + 1 40054 KachelY + 1 41147 0.69853650 -0.72868935 40.023193 -41.750824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72861782--0.72868935) × R
    7.15300000000418e-05 × 6371000     		dl = 455.717630000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72861782--0.72868935) × R
    7.15300000000418e-05 × 6371000     		dr = 455.717630000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69844063-0.69853650) × cos(-0.72861782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746095424124991 × 6371000     		do = 455.705960308497m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69844063-0.69853650) × cos(-0.72868935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746047794750274 × 6371000     		du = 455.676868868928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72861782)-sin(-0.72868935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746095424124991-0.746047794750274)×R²
    abs(0.69853650-0.69844063)×4.76293747163625e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76293747163625e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76293747163625e-05×40589641000000     		ar = 207666.611556365m²