Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40052 / 41884
↖ ↑ ↗
← S 44.699898°
E 40.012207°		 ← 434.19 m → S 44.699898°
E 40.017700°		 →
↑
434.12 m
↓
↑
434.12 m
↓
S 44.703802°
E 40.012207°		 ← 434.16 m →
188 486 m²		 S 44.703802°
E 40.017700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611152648925781 y=0.639106750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611152648925781 × 216)
    floor (0.611152648925781 × 65536)
    floor (40052.5)     		tx = 40052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639106750488281 × 216)
    floor (0.639106750488281 × 65536)
    floor (41884.5)     		ty = 41884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40052 / 41884 ti = "16/40052/41884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40052/41884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40052 ÷ 216
    40052 ÷ 65536     		x = 0.61114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41884 ÷ 216
    41884 ÷ 65536     		y = 0.63909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61114501953125 × 2 - 1) × π
    0.2222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69834475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.2781982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.873985553872864
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69834475} λ = 0.69834475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873985553872864))-π/2
    2×atan(0.417285118309021)-π/2
    2×0.395317968684507-π/2
    0.790635937369013-1.57079632675     		φ = -0.78016039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69834475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.012207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78016039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.699898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40052 KachelY 41884 0.69834475 -0.78016039 40.012207 -44.699898
    Oben rechts KachelX + 1 40053 KachelY 41884 0.69844063 -0.78016039 40.017700 -44.699898
    Unten links KachelX 40052 KachelY + 1 41885 0.69834475 -0.78022853 40.012207 -44.703802
    Unten rechts KachelX + 1 40053 KachelY + 1 41885 0.69844063 -0.78022853 40.017700 -44.703802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78016039--0.78022853) × R
    6.81399999999943e-05 × 6371000     		dl = 434.119939999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78016039--0.78022853) × R
    6.81399999999943e-05 × 6371000     		dr = 434.119939999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69834475-0.69844063) × cos(-0.78016039) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.710800729882607 × 6371000     		do = 434.193677834089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69834475-0.69844063) × cos(-0.78022853) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.710752799003935 × 6371000     		du = 434.164399185914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78016039)-sin(-0.78022853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710800729882607-0.710752799003935)×R²
    abs(0.69844063-0.69834475)×4.79308786719423e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79308786719423e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79308786719423e-05×40589641000000     		ar = 188485.778220368m²