Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40050 / 9431
↖ ↑ ↗
← N 77.815210°
E 40.001221°		 ← 128.92 m → N 77.815210°
E 40.006714°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
N 77.814050°
E 40.001221°		 ← 128.93 m →
16 624 m²		 N 77.814050°
E 40.006714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611122131347656 y=0.143913269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611122131347656 × 216)
    floor (0.611122131347656 × 65536)
    floor (40050.5)     		tx = 40050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143913269042969 × 216)
    floor (0.143913269042969 × 65536)
    floor (9431.5)     		ty = 9431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40050 / 9431 ti = "16/40050/9431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40050/9431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40050 ÷ 216
    40050 ÷ 65536     		x = 0.611114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9431 ÷ 216
    9431 ÷ 65536     		y = 0.143905639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611114501953125 × 2 - 1) × π
    0.22222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69815301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143905639648438 × 2 - 1) × π
    0.712188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2374068528665
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69815301} λ = 0.69815301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2374068528665))-π/2
    2×atan(9.36900455237431)-π/2
    2×1.4644639737601-π/2
    2.92892794752019-1.57079632675     		φ = 1.35813162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69815301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.001221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35813162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.815210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40050 KachelY 9431 0.69815301 1.35813162 40.001221 77.815210
    Oben rechts KachelX + 1 40051 KachelY 9431 0.69824888 1.35813162 40.006714 77.815210
    Unten links KachelX 40050 KachelY + 1 9432 0.69815301 1.35811138 40.001221 77.814050
    Unten rechts KachelX + 1 40051 KachelY + 1 9432 0.69824888 1.35811138 40.006714 77.814050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35813162-1.35811138) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35813162-1.35811138) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69815301-0.69824888) × cos(1.35813162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211065322284696 × 6371000     		do = 128.916117522598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69815301-0.69824888) × cos(1.35811138) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211085106273904 × 6371000     		du = 128.928201341248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35813162)-sin(1.35811138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211065322284696-0.211085106273904)×R²
    abs(0.69824888-0.69815301)×1.97839892072116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97839892072116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97839892072116e-05×40589641000000     		ar = 16624.3886943045m²