Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40048 / 9426
↖ ↑ ↗
← N 77.821006°
E 39.990234°		 ← 128.86 m → N 77.821006°
E 39.995727°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 77.819847°
E 39.990234°		 ← 128.87 m →
16 608 m²		 N 77.819847°
E 39.995727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611091613769531 y=0.143836975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611091613769531 × 216)
    floor (0.611091613769531 × 65536)
    floor (40048.5)     		tx = 40048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143836975097656 × 216)
    floor (0.143836975097656 × 65536)
    floor (9426.5)     		ty = 9426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40048 / 9426 ti = "16/40048/9426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40048/9426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40048 ÷ 216
    40048 ÷ 65536     		x = 0.611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9426 ÷ 216
    9426 ÷ 65536     		y = 0.143829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611083984375 × 2 - 1) × π
    0.22216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69796126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143829345703125 × 2 - 1) × π
    0.71234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2378862218627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69796126} λ = 0.69796126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2378862218627))-π/2
    2×atan(9.3734968393275)-π/2
    2×1.46451455099527-π/2
    2.92902910199054-1.57079632675     		φ = 1.35823278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69796126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.990234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35823278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.821006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40048 KachelY 9426 0.69796126 1.35823278 39.990234 77.821006
    Oben rechts KachelX + 1 40049 KachelY 9426 0.69805713 1.35823278 39.995727 77.821006
    Unten links KachelX 40048 KachelY + 1 9427 0.69796126 1.35821255 39.990234 77.819847
    Unten rechts KachelX + 1 40049 KachelY + 1 9427 0.69805713 1.35821255 39.995727 77.819847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35823278-1.35821255) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35823278-1.35821255) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69796126-0.69805713) × cos(1.35823278) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210966440141587 × 6371000     		do = 128.855721518916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69796126-0.69805713) × cos(1.35821255) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210986214787975 × 6371000     		du = 128.867799631085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35823278)-sin(1.35821255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210966440141587-0.210986214787975)×R²
    abs(0.69805713-0.69796126)×1.9774646387638e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9774646387638e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9774646387638e-05×40589641000000     		ar = 16608.3905366678m²