Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40047 / 41297
↖ ↑ ↗
← S 42.362603°
E 39.984741°		 ← 451.36 m → S 42.362603°
E 39.990234°		 →
↑
451.32 m
↓
↑
451.32 m
↓
S 42.366662°
E 39.984741°		 ← 451.33 m →
203 700 m²		 S 42.366662°
E 39.990234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611076354980469 y=0.630149841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611076354980469 × 216)
    floor (0.611076354980469 × 65536)
    floor (40047.5)     		tx = 40047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630149841308594 × 216)
    floor (0.630149841308594 × 65536)
    floor (41297.5)     		ty = 41297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40047 / 41297 ti = "16/40047/41297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40047/41297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40047 ÷ 216
    40047 ÷ 65536     		x = 0.611068725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41297 ÷ 216
    41297 ÷ 65536     		y = 0.630142211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611068725585938 × 2 - 1) × π
    0.222137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69786538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630142211914062 × 2 - 1) × π
    -0.260284423828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.817707633718918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69786538} λ = 0.69786538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817707633718918))-π/2
    2×atan(0.441442443286332)-π/2
    2×0.415714713056591-π/2
    0.831429426113183-1.57079632675     		φ = -0.73936690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69786538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.984741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73936690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.362603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40047 KachelY 41297 0.69786538 -0.73936690 39.984741 -42.362603
    Oben rechts KachelX + 1 40048 KachelY 41297 0.69796126 -0.73936690 39.990234 -42.362603
    Unten links KachelX 40047 KachelY + 1 41298 0.69786538 -0.73943774 39.984741 -42.366662
    Unten rechts KachelX + 1 40048 KachelY + 1 41298 0.69796126 -0.73943774 39.990234 -42.366662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73936690--0.73943774) × R
    7.08399999999054e-05 × 6371000     		dl = 451.321639999397m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73936690--0.73943774) × R
    7.08399999999054e-05 × 6371000     		dr = 451.321639999397m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69786538-0.69796126) × cos(-0.73936690) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.738895302383064 × 6371000     		do = 451.355289025969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69786538-0.69796126) × cos(-0.73943774) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.738847567102445 × 6371000     		du = 451.326129859155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73936690)-sin(-0.73943774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738895302383064-0.738847567102445)×R²
    abs(0.69796126-0.69786538)×4.77352806187437e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.77352806187437e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.77352806187437e-05×40589641000000     		ar = 203699.829269476m²