Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40046 / 41144
↖ ↑ ↗
← S 41.738529°
E 39.979248°		 ← 455.76 m → S 41.738529°
E 39.984741°		 →
↑
455.72 m
↓
↑
455.72 m
↓
S 41.742627°
E 39.979248°		 ← 455.74 m →
207 693 m²		 S 41.742627°
E 39.984741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611061096191406 y=0.627815246582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611061096191406 × 216)
    floor (0.611061096191406 × 65536)
    floor (40046.5)     		tx = 40046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627815246582031 × 216)
    floor (0.627815246582031 × 65536)
    floor (41144.5)     		ty = 41144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40046 / 41144 ti = "16/40046/41144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40046/41144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40046 ÷ 216
    40046 ÷ 65536     		x = 0.611053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41144 ÷ 216
    41144 ÷ 65536     		y = 0.6278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611053466796875 × 2 - 1) × π
    0.22210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69776951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.803038942435181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69776951} λ = 0.69776951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803038942435181))-π/2
    2×atan(0.447965551975595)-π/2
    2×0.421160790042159-π/2
    0.842321580084317-1.57079632675     		φ = -0.72847475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69776951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.979248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72847475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.738529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40046 KachelY 41144 0.69776951 -0.72847475 39.979248 -41.738529
    Oben rechts KachelX + 1 40047 KachelY 41144 0.69786538 -0.72847475 39.984741 -41.738529
    Unten links KachelX 40046 KachelY + 1 41145 0.69776951 -0.72854628 39.979248 -41.742627
    Unten rechts KachelX + 1 40047 KachelY + 1 41145 0.69786538 -0.72854628 39.984741 -41.742627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72847475--0.72854628) × R
    7.15300000000418e-05 × 6371000     		dl = 455.717630000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72847475--0.72854628) × R
    7.15300000000418e-05 × 6371000     		dr = 455.717630000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69776951-0.69786538) × cos(-0.72847475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746190678079219 × 6371000     		do = 455.764140258784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69776951-0.69786538) × cos(-0.72854628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.746143056340136 × 6371000     		du = 455.735053482966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72847475)-sin(-0.72854628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746190678079219-0.746143056340136)×R²
    abs(0.69786538-0.69776951)×4.76217390833478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76217390833478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76217390833478e-05×40589641000000     		ar = 207693.126248053m²