Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40045 / 41125
↖ ↑ ↗
← S 41.660601°
E 39.973755°		 ← 456.32 m → S 41.660601°
E 39.979248°		 →
↑
456.29 m
↓
↑
456.29 m
↓
S 41.664705°
E 39.973755°		 ← 456.29 m →
208 207 m²		 S 41.664705°
E 39.979248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611045837402344 y=0.627525329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611045837402344 × 216)
    floor (0.611045837402344 × 65536)
    floor (40045.5)     		tx = 40045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627525329589844 × 216)
    floor (0.627525329589844 × 65536)
    floor (41125.5)     		ty = 41125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40045 / 41125 ti = "16/40045/41125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40045/41125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40045 ÷ 216
    40045 ÷ 65536     		x = 0.611038208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41125 ÷ 216
    41125 ÷ 65536     		y = 0.627517700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611038208007812 × 2 - 1) × π
    0.222076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69767364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627517700195312 × 2 - 1) × π
    -0.255035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.801217340249619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69767364} λ = 0.69767364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801217340249619))-π/2
    2×atan(0.448782310683004)-π/2
    2×0.421840833380424-π/2
    0.843681666760849-1.57079632675     		φ = -0.72711466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69767364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.973755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72711466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.660601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40045 KachelY 41125 0.69767364 -0.72711466 39.973755 -41.660601
    Oben rechts KachelX + 1 40046 KachelY 41125 0.69776951 -0.72711466 39.979248 -41.660601
    Unten links KachelX 40045 KachelY + 1 41126 0.69767364 -0.72718628 39.973755 -41.664705
    Unten rechts KachelX + 1 40046 KachelY + 1 41126 0.69776951 -0.72718628 39.979248 -41.664705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72711466--0.72718628) × R
    7.1619999999939e-05 × 6371000     		dl = 456.291019999611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72711466--0.72718628) × R
    7.1619999999939e-05 × 6371000     		dr = 456.291019999611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69767364-0.69776951) × cos(-0.72711466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747095443451781 × 6371000     		do = 456.316759883064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69767364-0.69776951) × cos(-0.72718628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.747047834519912 × 6371000     		du = 456.287680929736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72711466)-sin(-0.72718628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747095443451781-0.747047834519912)×R²
    abs(0.69776951-0.69767364)×4.76089318686146e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76089318686146e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76089318686146e-05×40589641000000     		ar = 208206.60566656m²