Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40044 / 41925
↖ ↑ ↗
← S 44.859763°
E 39.968262°		 ← 432.99 m → S 44.859763°
E 39.973755°		 →
↑
432.97 m
↓
↑
432.97 m
↓
S 44.863656°
E 39.968262°		 ← 432.96 m →
187 468 m²		 S 44.863656°
E 39.973755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611030578613281 y=0.639732360839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611030578613281 × 216)
    floor (0.611030578613281 × 65536)
    floor (40044.5)     		tx = 40044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639732360839844 × 216)
    floor (0.639732360839844 × 65536)
    floor (41925.5)     		ty = 41925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40044 / 41925 ti = "16/40044/41925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40044/41925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40044 ÷ 216
    40044 ÷ 65536     		x = 0.61102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41925 ÷ 216
    41925 ÷ 65536     		y = 0.639724731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61102294921875 × 2 - 1) × π
    0.2220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69757776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639724731445312 × 2 - 1) × π
    -0.279449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.877916379641708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69757776} λ = 0.69757776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877916379641708))-π/2
    2×atan(0.415648062810883)-π/2
    2×0.393922883121518-π/2
    0.787845766243036-1.57079632675     		φ = -0.78295056
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69757776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.968262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78295056 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.859763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40044 KachelY 41925 0.69757776 -0.78295056 39.968262 -44.859763
    Oben rechts KachelX + 1 40045 KachelY 41925 0.69767364 -0.78295056 39.973755 -44.859763
    Unten links KachelX 40044 KachelY + 1 41926 0.69757776 -0.78301852 39.968262 -44.863656
    Unten rechts KachelX + 1 40045 KachelY + 1 41926 0.69767364 -0.78301852 39.973755 -44.863656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78295056--0.78301852) × R
    6.79600000000891e-05 × 6371000     		dl = 432.973160000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78295056--0.78301852) × R
    6.79600000000891e-05 × 6371000     		dr = 432.973160000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69757776-0.69767364) × cos(-0.78295056) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.708835378365188 × 6371000     		do = 432.993139950451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69757776-0.69767364) × cos(-0.78301852) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.708787439514826 × 6371000     		du = 432.963856432758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78295056)-sin(-0.78301852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708835378365188-0.708787439514826)×R²
    abs(0.69767364-0.69757776)×4.79388503624723e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79388503624723e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79388503624723e-05×40589641000000     		ar = 187468.068646463m²