Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40043 / 41848
↖ ↑ ↗
← S 44.559163°
E 39.962769°		 ← 435.20 m → S 44.559163°
E 39.968262°		 →
↑
435.20 m
↓
↑
435.20 m
↓
S 44.563077°
E 39.962769°		 ← 435.17 m →
189 395 m²		 S 44.563077°
E 39.968262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611015319824219 y=0.638557434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611015319824219 × 216)
    floor (0.611015319824219 × 65536)
    floor (40043.5)     		tx = 40043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638557434082031 × 216)
    floor (0.638557434082031 × 65536)
    floor (41848.5)     		ty = 41848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40043 / 41848 ti = "16/40043/41848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40043/41848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40043 ÷ 216
    40043 ÷ 65536     		x = 0.611007690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41848 ÷ 216
    41848 ÷ 65536     		y = 0.6385498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611007690429688 × 2 - 1) × π
    0.222015380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69748189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6385498046875 × 2 - 1) × π
    -0.277099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.87053409710022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69748189} λ = 0.69748189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87053409710022))-π/2
    2×atan(0.418727848184416)-π/2
    2×0.396546106640791-π/2
    0.793092213281582-1.57079632675     		φ = -0.77770411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69748189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.962769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77770411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.559163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40043 KachelY 41848 0.69748189 -0.77770411 39.962769 -44.559163
    Oben rechts KachelX + 1 40044 KachelY 41848 0.69757776 -0.77770411 39.968262 -44.559163
    Unten links KachelX 40043 KachelY + 1 41849 0.69748189 -0.77777242 39.962769 -44.563077
    Unten rechts KachelX + 1 40044 KachelY + 1 41849 0.69757776 -0.77777242 39.968262 -44.563077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77770411--0.77777242) × R
    6.83100000000714e-05 × 6371000     		dl = 435.203010000455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77770411--0.77777242) × R
    6.83100000000714e-05 × 6371000     		dr = 435.203010000455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69748189-0.69757776) × cos(-0.77770411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7125263151283 × 6371000     		do = 435.202359083522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69748189-0.69757776) × cos(-0.77777242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71247838406948 × 6371000     		du = 435.173083378992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77770411)-sin(-0.77777242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7125263151283-0.71247838406948)×R²
    abs(0.69757776-0.69748189)×4.793105881995e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.793105881995e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.793105881995e-05×40589641000000     		ar = 189395.006268336m²