Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40041 / 41850
↖ ↑ ↗
← S 44.566991°
E 39.951782°		 ← 435.19 m → S 44.566991°
E 39.957276°		 →
↑
435.14 m
↓
↑
435.14 m
↓
S 44.570904°
E 39.951782°		 ← 435.16 m →
189 362 m²		 S 44.570904°
E 39.957276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610984802246094 y=0.638587951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610984802246094 × 216)
    floor (0.610984802246094 × 65536)
    floor (40041.5)     		tx = 40041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638587951660156 × 216)
    floor (0.638587951660156 × 65536)
    floor (41850.5)     		ty = 41850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40041 / 41850 ti = "16/40041/41850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40041/41850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40041 ÷ 216
    40041 ÷ 65536     		x = 0.610977172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41850 ÷ 216
    41850 ÷ 65536     		y = 0.638580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610977172851562 × 2 - 1) × π
    0.221954345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69729014
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.27716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.8707258446987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69729014} λ = 0.69729014}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8707258446987))-π/2
    2×atan(0.41864756582233)-π/2
    2×0.396477798631492-π/2
    0.792955597262985-1.57079632675     		φ = -0.77784073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69729014} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.951782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77784073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.566991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40041 KachelY 41850 0.69729014 -0.77784073 39.951782 -44.566991
    Oben rechts KachelX + 1 40042 KachelY 41850 0.69738602 -0.77784073 39.957276 -44.566991
    Unten links KachelX 40041 KachelY + 1 41851 0.69729014 -0.77790903 39.951782 -44.570904
    Unten rechts KachelX + 1 40042 KachelY + 1 41851 0.69738602 -0.77790903 39.957276 -44.570904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77784073--0.77790903) × R
    6.83000000000211e-05 × 6371000     		dl = 435.139300000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77784073--0.77790903) × R
    6.83000000000211e-05 × 6371000     		dr = 435.139300000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69729014-0.69738602) × cos(-0.77784073) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.712430449686054 × 6371000     		do = 435.18919458801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69729014-0.69738602) × cos(-0.77790903) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.712382518996158 × 6371000     		du = 435.15991605515m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77784073)-sin(-0.77790903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712430449686054-0.712382518996158)×R²
    abs(0.69738602-0.69729014)×4.79306898955034e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79306898955034e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79306898955034e-05×40589641000000     		ar = 189361.551453947m²