Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 40041 / 27819
↖ ↑ ↗
← N 71.375496°
W 70.024109°		 ← 97.54 m → N 71.375496°
W 70.021362°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 71.374619°
W 70.024109°		 ← 97.55 m →
9 514 m²		 N 71.374619°
W 70.021362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305492401123047 y=0.212245941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305492401123047 × 217)
    floor (0.305492401123047 × 131072)
    floor (40041.5)     		tx = 40041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212245941162109 × 217)
    floor (0.212245941162109 × 131072)
    floor (27819.5)     		ty = 27819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40041 / 27819 ti = "17/40041/27819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40041/27819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40041 ÷ 217
    40041 ÷ 131072     		x = 0.305488586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27819 ÷ 217
    27819 ÷ 131072     		y = 0.212242126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305488586425781 × 2 - 1) × π
    -0.389022827148438 × 3.1415926535     		Λ = -1.22215126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212242126464844 × 2 - 1) × π
    0.575515747070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.80803604296966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22215126} λ = -1.22215126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80803604296966))-π/2
    2×atan(6.0984585527132)-π/2
    2×1.4082668661853-π/2
    2.81653373237061-1.57079632675     		φ = 1.24573741
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22215126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.024109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24573741 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.375496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40041 KachelY 27819 -1.22215126 1.24573741 -70.024109 71.375496
    Oben rechts KachelX + 1 40042 KachelY 27819 -1.22210332 1.24573741 -70.021362 71.375496
    Unten links KachelX 40041 KachelY + 1 27820 -1.22215126 1.24572210 -70.024109 71.374619
    Unten rechts KachelX + 1 40042 KachelY + 1 27820 -1.22210332 1.24572210 -70.021362 71.374619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24573741-1.24572210) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24573741-1.24572210) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22215126--1.22210332) × cos(1.24573741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31936461784626 × 6371000     		do = 97.5421747354472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22215126--1.22210332) × cos(1.24572210) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319379126053405 × 6371000     		du = 97.5466059153505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24573741)-sin(1.24572210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31936461784626-0.319379126053405)×R²
    abs(-1.22210332--1.22215126)×1.45082071450475e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45082071450475e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45082071450475e-05×40589641000000     		ar = 9514.48080796691m²