Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40040 / 41209
↖ ↑ ↗
← S 42.004407°
E 39.946289°		 ← 453.87 m → S 42.004407°
E 39.951782°		 →
↑
453.87 m
↓
↑
453.87 m
↓
S 42.008489°
E 39.946289°		 ← 453.84 m →
205 992 m²		 S 42.008489°
E 39.951782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610969543457031 y=0.628807067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610969543457031 × 216)
    floor (0.610969543457031 × 65536)
    floor (40040.5)     		tx = 40040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628807067871094 × 216)
    floor (0.628807067871094 × 65536)
    floor (41209.5)     		ty = 41209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40040 / 41209 ti = "16/40040/41209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40040/41209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40040 ÷ 216
    40040 ÷ 65536     		x = 0.6109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41209 ÷ 216
    41209 ÷ 65536     		y = 0.628799438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6109619140625 × 2 - 1) × π
    0.221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69719427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628799438476562 × 2 - 1) × π
    -0.257598876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.809270739385788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69719427} λ = 0.69719427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809270739385788))-π/2
    2×atan(0.445182602010753)-π/2
    2×0.418840560298708-π/2
    0.837681120597415-1.57079632675     		φ = -0.73311521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69719427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73311521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.004407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40040 KachelY 41209 0.69719427 -0.73311521 39.946289 -42.004407
    Oben rechts KachelX + 1 40041 KachelY 41209 0.69729014 -0.73311521 39.951782 -42.004407
    Unten links KachelX 40040 KachelY + 1 41210 0.69719427 -0.73318645 39.946289 -42.008489
    Unten rechts KachelX + 1 40041 KachelY + 1 41210 0.69729014 -0.73318645 39.951782 -42.008489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73311521--0.73318645) × R
    7.12400000000279e-05 × 6371000     		dl = 453.870040000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73311521--0.73318645) × R
    7.12400000000279e-05 × 6371000     		dr = 453.870040000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69719427-0.69729014) × cos(-0.73311521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743093350967312 × 6371000     		do = 453.872330739142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69719427-0.69729014) × cos(-0.73318645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.743045676144954 × 6371000     		du = 453.843211540709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73311521)-sin(-0.73318645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743093350967312-0.743045676144954)×R²
    abs(0.69729014-0.69719427)×4.76748223572354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76748223572354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76748223572354e-05×40589641000000     		ar = 205992.444828916m²