Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40040 / 27816
↖ ↑ ↗
← N 71.378127°
W 70.026855°		 ← 97.51 m → N 71.378127°
W 70.024109°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 71.377250°
W 70.026855°		 ← 97.51 m →
9 511 m²		 N 71.377250°
W 70.024109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305484771728516 y=0.212223052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305484771728516 × 217)
    floor (0.305484771728516 × 131072)
    floor (40040.5)     		tx = 40040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212223052978516 × 217)
    floor (0.212223052978516 × 131072)
    floor (27816.5)     		ty = 27816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40040 / 27816 ti = "17/40040/27816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40040/27816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40040 ÷ 217
    40040 ÷ 131072     		x = 0.30548095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27816 ÷ 217
    27816 ÷ 131072     		y = 0.21221923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30548095703125 × 2 - 1) × π
    -0.3890380859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.22219919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21221923828125 × 2 - 1) × π
    0.5755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.80817985366852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22219919} λ = -1.22219919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80817985366852))-π/2
    2×atan(6.09933563936535)-π/2
    2×1.40828982864535-π/2
    2.81657965729069-1.57079632675     		φ = 1.24578333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22219919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.026855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24578333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.378127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40040 KachelY 27816 -1.22219919 1.24578333 -70.026855 71.378127
    Oben rechts KachelX + 1 40041 KachelY 27816 -1.22215126 1.24578333 -70.024109 71.378127
    Unten links KachelX 40040 KachelY + 1 27817 -1.22219919 1.24576802 -70.026855 71.377250
    Unten rechts KachelX + 1 40041 KachelY + 1 27817 -1.22215126 1.24576802 -70.024109 71.377250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24578333-1.24576802) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24578333-1.24576802) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22219919--1.22215126) × cos(1.24578333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319321102252157 × 6371000     		do = 97.5085400056159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22219919--1.22215126) × cos(1.24576802) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.319335610683816 × 6371000     		du = 97.5129703297596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24578333)-sin(1.24576802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319321102252157-0.319335610683816)×R²
    abs(-1.22215126--1.22219919)×1.45084316593991e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.45084316593991e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.45084316593991e-05×40589641000000     		ar = 9511.20003446522m²