Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40039 / 27817
↖ ↑ ↗
← N 71.377250°
W 70.029602°		 ← 97.53 m → N 71.377250°
W 70.026855°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
N 71.376373°
W 70.029602°		 ← 97.54 m →
9 514 m²		 N 71.376373°
W 70.026855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305477142333984 y=0.212230682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305477142333984 × 217)
    floor (0.305477142333984 × 131072)
    floor (40039.5)     		tx = 40039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212230682373047 × 217)
    floor (0.212230682373047 × 131072)
    floor (27817.5)     		ty = 27817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40039 / 27817 ti = "17/40039/27817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40039/27817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40039 ÷ 217
    40039 ÷ 131072     		x = 0.305473327636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27817 ÷ 217
    27817 ÷ 131072     		y = 0.212226867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305473327636719 × 2 - 1) × π
    -0.389053344726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.22224713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212226867675781 × 2 - 1) × π
    0.575546264648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.8081319167689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22224713} λ = -1.22224713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8081319167689))-π/2
    2×atan(6.09904326313292)-π/2
    2×1.4082821748397-π/2
    2.8165643496794-1.57079632675     		φ = 1.24576802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22224713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.029602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24576802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.377250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40039 KachelY 27817 -1.22224713 1.24576802 -70.029602 71.377250
    Oben rechts KachelX + 1 40040 KachelY 27817 -1.22219919 1.24576802 -70.026855 71.377250
    Unten links KachelX 40039 KachelY + 1 27818 -1.22224713 1.24575271 -70.029602 71.376373
    Unten rechts KachelX + 1 40040 KachelY + 1 27818 -1.22219919 1.24575271 -70.026855 71.376373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24576802-1.24575271) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24576802-1.24575271) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22224713--1.22219919) × cos(1.24576802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319335610683816 × 6371000     		do = 97.5333152013926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22224713--1.22219919) × cos(1.24575271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.319350119040625 × 6371000     		du = 97.537746427007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24576802)-sin(1.24575271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319335610683816-0.319350119040625)×R²
    abs(-1.22219919--1.22224713)×1.45083568084403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.45083568084403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.45083568084403e-05×40589641000000     		ar = 9513.6166511085m²