Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40038 / 41172
↖ ↑ ↗
← S 41.853196°
E 39.935303°		 ← 454.95 m → S 41.853196°
E 39.940796°		 →
↑
454.95 m
↓
↑
454.95 m
↓
S 41.857288°
E 39.935303°		 ← 454.92 m →
206 974 m²		 S 41.857288°
E 39.940796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610939025878906 y=0.628242492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610939025878906 × 216)
    floor (0.610939025878906 × 65536)
    floor (40038.5)     		tx = 40038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628242492675781 × 216)
    floor (0.628242492675781 × 65536)
    floor (41172.5)     		ty = 41172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40038 / 41172 ti = "16/40038/41172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40038/41172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40038 ÷ 216
    40038 ÷ 65536     		x = 0.610931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41172 ÷ 216
    41172 ÷ 65536     		y = 0.62823486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610931396484375 × 2 - 1) × π
    0.22186279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69700252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62823486328125 × 2 - 1) × π
    -0.2564697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805723408813904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69700252} λ = 0.69700252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805723408813904))-π/2
    2×atan(0.446764616169586)-π/2
    2×0.420160123244529-π/2
    0.840320246489059-1.57079632675     		φ = -0.73047608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69700252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.935303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73047608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.853196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40038 KachelY 41172 0.69700252 -0.73047608 39.935303 -41.853196
    Oben rechts KachelX + 1 40039 KachelY 41172 0.69709839 -0.73047608 39.940796 -41.853196
    Unten links KachelX 40038 KachelY + 1 41173 0.69700252 -0.73054749 39.935303 -41.857288
    Unten rechts KachelX + 1 40039 KachelY + 1 41173 0.69709839 -0.73054749 39.940796 -41.857288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73047608--0.73054749) × R
    7.1409999999994e-05 × 6371000     		dl = 454.953109999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73047608--0.73054749) × R
    7.1409999999994e-05 × 6371000     		dr = 454.953109999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69700252-0.69709839) × cos(-0.73047608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.744856834613336 × 6371000     		do = 454.949444982728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69700252-0.69709839) × cos(-0.73054749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.744809186225382 × 6371000     		du = 454.920341930106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73047608)-sin(-0.73054749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744856834613336-0.744809186225382)×R²
    abs(0.69709839-0.69700252)×4.76483879539025e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76483879539025e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76483879539025e-05×40589641000000     		ar = 206974.044713146m²