Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 40037 / 27615
↖ ↑ ↗
← N 71.553610°
W 70.035095°		 ← 96.62 m → N 71.553610°
W 70.032349°		 →
↑
96.65 m
↓
↑
96.65 m
↓
N 71.552740°
W 70.035095°		 ← 96.63 m →
9 339 m²		 N 71.552740°
W 70.032349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305461883544922 y=0.210689544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305461883544922 × 217)
    floor (0.305461883544922 × 131072)
    floor (40037.5)     		tx = 40037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210689544677734 × 217)
    floor (0.210689544677734 × 131072)
    floor (27615.5)     		ty = 27615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40037 / 27615 ti = "17/40037/27615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40037/27615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40037 ÷ 217
    40037 ÷ 131072     		x = 0.305458068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27615 ÷ 217
    27615 ÷ 131072     		y = 0.210685729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.305458068847656 × 2 - 1) × π
    -0.389083862304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.22234300
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210685729980469 × 2 - 1) × π
    0.578628540039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.81781517049215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22234300} λ = -1.22234300}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81781517049215))-π/2
    2×atan(6.15838871132323)-π/2
    2×1.40982120418789-π/2
    2.81964240837579-1.57079632675     		φ = 1.24884608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22234300} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.035095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24884608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.553610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40037 KachelY 27615 -1.22234300 1.24884608 -70.035095 71.553610
    Oben rechts KachelX + 1 40038 KachelY 27615 -1.22229507 1.24884608 -70.032349 71.553610
    Unten links KachelX 40037 KachelY + 1 27616 -1.22234300 1.24883091 -70.035095 71.552740
    Unten rechts KachelX + 1 40038 KachelY + 1 27616 -1.22229507 1.24883091 -70.032349 71.552740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24884608-1.24883091) × R
    1.51700000001753e-05 × 6371000     		dl = 96.648070001117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24884608-1.24883091) × R
    1.51700000001753e-05 × 6371000     		dr = 96.648070001117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22234300--1.22229507) × cos(1.24884608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.316417204553435 × 6371000     		do = 96.6217999094212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22234300--1.22229507) × cos(1.24883091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.316431595084411 × 6371000     		du = 96.6261942311729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24884608)-sin(1.24883091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316417204553435-0.316431595084411)×R²
    abs(-1.22229507--1.22234300)×1.43905309762937e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.43905309762937e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.43905309762937e-05×40589641000000     		ar = 9338.5228328404m²