Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40033 / 41922
↖ ↑ ↗
← S 44.848080°
E 39.907837°		 ← 433.08 m → S 44.848080°
E 39.913330°		 →
↑
433.04 m
↓
↑
433.04 m
↓
S 44.851974°
E 39.907837°		 ← 433.05 m →
187 534 m²		 S 44.851974°
E 39.913330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610862731933594 y=0.639686584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610862731933594 × 216)
    floor (0.610862731933594 × 65536)
    floor (40033.5)     		tx = 40033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639686584472656 × 216)
    floor (0.639686584472656 × 65536)
    floor (41922.5)     		ty = 41922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40033 / 41922 ti = "16/40033/41922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40033/41922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40033 ÷ 216
    40033 ÷ 65536     		x = 0.610855102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41922 ÷ 216
    41922 ÷ 65536     		y = 0.639678955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610855102539062 × 2 - 1) × π
    0.221710205078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69652315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639678955078125 × 2 - 1) × π
    -0.27935791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.877628758243988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69652315} λ = 0.69652315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877628758243988))-π/2
    2×atan(0.415767629281782)-π/2
    2×0.394024831573229-π/2
    0.788049663146458-1.57079632675     		φ = -0.78274666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69652315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.907837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78274666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.848080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40033 KachelY 41922 0.69652315 -0.78274666 39.907837 -44.848080
    Oben rechts KachelX + 1 40034 KachelY 41922 0.69661903 -0.78274666 39.913330 -44.848080
    Unten links KachelX 40033 KachelY + 1 41923 0.69652315 -0.78281463 39.907837 -44.851974
    Unten rechts KachelX + 1 40034 KachelY + 1 41923 0.69661903 -0.78281463 39.913330 -44.851974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78274666--0.78281463) × R
    6.79699999999173e-05 × 6371000     		dl = 433.036869999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78274666--0.78281463) × R
    6.79699999999173e-05 × 6371000     		dr = 433.036869999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69652315-0.69661903) × cos(-0.78274666) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708979189377179 × 6371000     		do = 433.080987120468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69652315-0.69661903) × cos(-0.78281463) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.708931253297068 × 6371000     		du = 433.051705294986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78274666)-sin(-0.78281463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708979189377179-0.708931253297068)×R²
    abs(0.69661903-0.69652315)×4.79360801108886e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79360801108886e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79360801108886e-05×40589641000000     		ar = 187533.695136161m²