Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40027 / 41906
↖ ↑ ↗
← S 44.785734°
E 39.874878°		 ← 433.50 m → S 44.785734°
E 39.880371°		 →
↑
433.55 m
↓
↑
433.55 m
↓
S 44.789633°
E 39.874878°		 ← 433.47 m →
187 938 m²		 S 44.789633°
E 39.880371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610771179199219 y=0.639442443847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610771179199219 × 216)
    floor (0.610771179199219 × 65536)
    floor (40027.5)     		tx = 40027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639442443847656 × 216)
    floor (0.639442443847656 × 65536)
    floor (41906.5)     		ty = 41906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40027 / 41906 ti = "16/40027/41906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40027/41906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40027 ÷ 216
    40027 ÷ 65536     		x = 0.610763549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41906 ÷ 216
    41906 ÷ 65536     		y = 0.639434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610763549804688 × 2 - 1) × π
    0.221527099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69594791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.27886962890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.876094777456146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69594791} λ = 0.69594791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876094777456146))-π/2
    2×atan(0.416405898258321)-π/2
    2×0.394568905930747-π/2
    0.789137811861493-1.57079632675     		φ = -0.78165851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69594791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.874878°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78165851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.785734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40027 KachelY 41906 0.69594791 -0.78165851 39.874878 -44.785734
    Oben rechts KachelX + 1 40028 KachelY 41906 0.69604378 -0.78165851 39.880371 -44.785734
    Unten links KachelX 40027 KachelY + 1 41907 0.69594791 -0.78172656 39.874878 -44.789633
    Unten rechts KachelX + 1 40028 KachelY + 1 41907 0.69604378 -0.78172656 39.880371 -44.789633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78165851--0.78172656) × R
    6.80499999999862e-05 × 6371000     		dl = 433.546549999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78165851--0.78172656) × R
    6.80499999999862e-05 × 6371000     		dr = 433.546549999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69594791-0.69604378) × cos(-0.78165851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709746164858601 × 6371000     		do = 433.504277300028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69594791-0.69604378) × cos(-0.78172656) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709698224881828 × 6371000     		du = 433.474996148521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78165851)-sin(-0.78172656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709746164858601-0.709698224881828)×R²
    abs(0.69604378-0.69594791)×4.79399767725486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79399767725486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79399767725486e-05×40589641000000     		ar = 187937.936534975m²