Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40025 / 41850
↖ ↑ ↗
← S 44.566991°
E 39.863892°		 ← 435.14 m → S 44.566991°
E 39.869384°		 →
↑
435.14 m
↓
↑
435.14 m
↓
S 44.570904°
E 39.863892°		 ← 435.11 m →
189 342 m²		 S 44.570904°
E 39.869384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610740661621094 y=0.638587951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610740661621094 × 216)
    floor (0.610740661621094 × 65536)
    floor (40025.5)     		tx = 40025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638587951660156 × 216)
    floor (0.638587951660156 × 65536)
    floor (41850.5)     		ty = 41850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40025 / 41850 ti = "16/40025/41850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40025/41850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40025 ÷ 216
    40025 ÷ 65536     		x = 0.610733032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41850 ÷ 216
    41850 ÷ 65536     		y = 0.638580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610733032226562 × 2 - 1) × π
    0.221466064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69575616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638580322265625 × 2 - 1) × π
    -0.27716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.8707258446987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69575616} λ = 0.69575616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8707258446987))-π/2
    2×atan(0.41864756582233)-π/2
    2×0.396477798631492-π/2
    0.792955597262985-1.57079632675     		φ = -0.77784073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69575616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.863892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77784073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.566991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40025 KachelY 41850 0.69575616 -0.77784073 39.863892 -44.566991
    Oben rechts KachelX + 1 40026 KachelY 41850 0.69585203 -0.77784073 39.869384 -44.566991
    Unten links KachelX 40025 KachelY + 1 41851 0.69575616 -0.77790903 39.863892 -44.570904
    Unten rechts KachelX + 1 40026 KachelY + 1 41851 0.69585203 -0.77790903 39.869384 -44.570904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77784073--0.77790903) × R
    6.83000000000211e-05 × 6371000     		dl = 435.139300000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77784073--0.77790903) × R
    6.83000000000211e-05 × 6371000     		dr = 435.139300000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69575616-0.69585203) × cos(-0.77784073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712430449686054 × 6371000     		do = 435.143805643833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69575616-0.69585203) × cos(-0.77790903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.712382518996158 × 6371000     		du = 435.114530164637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77784073)-sin(-0.77790903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712430449686054-0.712382518996158)×R²
    abs(0.69585203-0.69575616)×4.79306898955034e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79306898955034e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79306898955034e-05×40589641000000     		ar = 189341.801604927m²