Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40024 / 41275
↖ ↑ ↗
← S 42.273244°
E 39.858399°		 ← 451.95 m → S 42.273244°
E 39.863892°		 →
↑
451.96 m
↓
↑
451.96 m
↓
S 42.277309°
E 39.858399°		 ← 451.92 m →
204 256 m²		 S 42.277309°
E 39.863892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610725402832031 y=0.629814147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610725402832031 × 216)
    floor (0.610725402832031 × 65536)
    floor (40024.5)     		tx = 40024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629814147949219 × 216)
    floor (0.629814147949219 × 65536)
    floor (41275.5)     		ty = 41275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40024 / 41275 ti = "16/40024/41275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40024/41275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40024 ÷ 216
    40024 ÷ 65536     		x = 0.6107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41275 ÷ 216
    41275 ÷ 65536     		y = 0.629806518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6107177734375 × 2 - 1) × π
    0.221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69566029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629806518554688 × 2 - 1) × π
    -0.259613037109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.815598410135635
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69566029} λ = 0.69566029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815598410135635))-π/2
    2×atan(0.442374526739017)-π/2
    2×0.416494514449255-π/2
    0.83298902889851-1.57079632675     		φ = -0.73780730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69566029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.858399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73780730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.273244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40024 KachelY 41275 0.69566029 -0.73780730 39.858399 -42.273244
    Oben rechts KachelX + 1 40025 KachelY 41275 0.69575616 -0.73780730 39.863892 -42.273244
    Unten links KachelX 40024 KachelY + 1 41276 0.69566029 -0.73787824 39.858399 -42.277309
    Unten rechts KachelX + 1 40025 KachelY + 1 41276 0.69575616 -0.73787824 39.863892 -42.277309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73780730--0.73787824) × R
    7.09399999999638e-05 × 6371000     		dl = 451.958739999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73780730--0.73787824) × R
    7.09399999999638e-05 × 6371000     		dr = 451.958739999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69566029-0.69575616) × cos(-0.73780730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739945293395579 × 6371000     		do = 451.949535675072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69566029-0.69575616) × cos(-0.73787824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739897572533072 × 6371000     		du = 451.920388355879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73780730)-sin(-0.73787824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739945293395579-0.739897572533072)×R²
    abs(0.69575616-0.69566029)×4.7720862506706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7720862506706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7720862506706e-05×40589641000000     		ar = 204255.956079912m²