Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40021 / 41919
↖ ↑ ↗
← S 44.836396°
E 39.841919°		 ← 433.12 m → S 44.836396°
E 39.847412°		 →
↑
433.10 m
↓
↑
433.10 m
↓
S 44.840291°
E 39.841919°		 ← 433.09 m →
187 580 m²		 S 44.840291°
E 39.847412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610679626464844 y=0.639640808105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610679626464844 × 216)
    floor (0.610679626464844 × 65536)
    floor (40021.5)     		tx = 40021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639640808105469 × 216)
    floor (0.639640808105469 × 65536)
    floor (41919.5)     		ty = 41919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40021 / 41919 ti = "16/40021/41919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40021/41919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40021 ÷ 216
    40021 ÷ 65536     		x = 0.610671997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41919 ÷ 216
    41919 ÷ 65536     		y = 0.639633178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610671997070312 × 2 - 1) × π
    0.221343994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69537267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639633178710938 × 2 - 1) × π
    -0.279266357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.877341136846268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69537267} λ = 0.69537267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877341136846268))-π/2
    2×atan(0.415887230147502)-π/2
    2×0.394126800706166-π/2
    0.788253601412332-1.57079632675     		φ = -0.78254273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69537267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.841919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78254273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.836396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40021 KachelY 41919 0.69537267 -0.78254273 39.841919 -44.836396
    Oben rechts KachelX + 1 40022 KachelY 41919 0.69546854 -0.78254273 39.847412 -44.836396
    Unten links KachelX 40021 KachelY + 1 41920 0.69537267 -0.78261071 39.841919 -44.840291
    Unten rechts KachelX + 1 40022 KachelY + 1 41920 0.69546854 -0.78261071 39.847412 -44.840291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78254273--0.78261071) × R
    6.79800000000785e-05 × 6371000     		dl = 433.1005800005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78254273--0.78261071) × R
    6.79800000000785e-05 × 6371000     		dr = 433.1005800005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69537267-0.69546854) × cos(-0.78254273) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709122992065756 × 6371000     		do = 433.123650979561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69537267-0.69546854) × cos(-0.78261071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.709075058762226 × 6371000     		du = 433.09437390399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78254273)-sin(-0.78261071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709122992065756-0.709075058762226)×R²
    abs(0.69546854-0.69537267)×4.79333035294793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79333035294793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79333035294793e-05×40589641000000     		ar = 187579.764564127m²