Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40020 / 41913
↖ ↑ ↗
← S 44.813018°
E 39.836426°		 ← 433.34 m → S 44.813018°
E 39.841919°		 →
↑
433.36 m
↓
↑
433.36 m
↓
S 44.816916°
E 39.836426°		 ← 433.32 m →
187 786 m²		 S 44.816916°
E 39.841919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610664367675781 y=0.639549255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610664367675781 × 216)
    floor (0.610664367675781 × 65536)
    floor (40020.5)     		tx = 40020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639549255371094 × 216)
    floor (0.639549255371094 × 65536)
    floor (41913.5)     		ty = 41913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40020 / 41913 ti = "16/40020/41913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40020/41913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40020 ÷ 216
    40020 ÷ 65536     		x = 0.61065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41913 ÷ 216
    41913 ÷ 65536     		y = 0.639541625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61065673828125 × 2 - 1) × π
    0.2213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69527679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639541625976562 × 2 - 1) × π
    -0.279083251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.876765894050827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69527679} λ = 0.69527679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.876765894050827))-π/2
    2×atan(0.416126535102987)-π/2
    2×0.394330801015529-π/2
    0.788661602031059-1.57079632675     		φ = -0.78213472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69527679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.836426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78213472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.813018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40020 KachelY 41913 0.69527679 -0.78213472 39.836426 -44.813018
    Oben rechts KachelX + 1 40021 KachelY 41913 0.69537267 -0.78213472 39.841919 -44.813018
    Unten links KachelX 40020 KachelY + 1 41914 0.69527679 -0.78220274 39.836426 -44.816916
    Unten rechts KachelX + 1 40021 KachelY + 1 41914 0.69537267 -0.78220274 39.841919 -44.816916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78213472--0.78220274) × R
    6.80200000000575e-05 × 6371000     		dl = 433.355420000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78213472--0.78220274) × R
    6.80200000000575e-05 × 6371000     		dr = 433.355420000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69527679-0.69537267) × cos(-0.78213472) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.70941061468441 × 6371000     		do = 433.344523907899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69527679-0.69537267) × cos(-0.78220274) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.709362672859063 × 6371000     		du = 433.315238572932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78213472)-sin(-0.78220274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70941061468441-0.709362672859063)×R²
    abs(0.69537267-0.69527679)×4.79418253471753e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79418253471753e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79418253471753e-05×40589641000000     		ar = 187785.852756055m²