Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40018 / 9446
↖ ↑ ↗
← N 77.797806°
E 39.825439°		 ← 129.11 m → N 77.797806°
E 39.830933°		 →
↑
129.08 m
↓
↑
129.08 m
↓
N 77.796645°
E 39.825439°		 ← 129.12 m →
16 666 m²		 N 77.796645°
E 39.830933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610633850097656 y=0.144142150878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610633850097656 × 216)
    floor (0.610633850097656 × 65536)
    floor (40018.5)     		tx = 40018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144142150878906 × 216)
    floor (0.144142150878906 × 65536)
    floor (9446.5)     		ty = 9446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40018 / 9446 ti = "16/40018/9446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40018/9446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40018 ÷ 216
    40018 ÷ 65536     		x = 0.610626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9446 ÷ 216
    9446 ÷ 65536     		y = 0.144134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610626220703125 × 2 - 1) × π
    0.22125244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69508504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144134521484375 × 2 - 1) × π
    0.71173095703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2359687458779
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69508504} λ = 0.69508504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2359687458779))-π/2
    2×atan(9.35554060507011)-π/2
    2×1.46431209978511-π/2
    2.92862419957021-1.57079632675     		φ = 1.35782787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69508504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.825439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35782787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.797806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40018 KachelY 9446 0.69508504 1.35782787 39.825439 77.797806
    Oben rechts KachelX + 1 40019 KachelY 9446 0.69518092 1.35782787 39.830933 77.797806
    Unten links KachelX 40018 KachelY + 1 9447 0.69508504 1.35780761 39.825439 77.796645
    Unten rechts KachelX + 1 40019 KachelY + 1 9447 0.69518092 1.35780761 39.830933 77.796645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35782787-1.35780761) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dl = 129.076459999256m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35782787-1.35780761) × R
    2.02599999998831e-05 × 6371000     		dr = 129.076459999256m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69508504-0.69518092) × cos(1.35782787) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211362219650665 × 6371000     		do = 129.110924689609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69508504-0.69518092) × cos(1.35780761) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.21138202188936 × 6371000     		du = 129.123020916424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35782787)-sin(1.35780761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211362219650665-0.21138202188936)×R²
    abs(0.69518092-0.69508504)×1.98022386955765e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.98022386955765e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.98022386955765e-05×40589641000000     		ar = 16665.9617754556m²