Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40017 / 9423
↖ ↑ ↗
← N 77.824482°
E 39.819946°		 ← 128.82 m → N 77.824482°
E 39.825439°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 77.823323°
E 39.819946°		 ← 128.83 m →
16 604 m²		 N 77.823323°
E 39.825439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610618591308594 y=0.143791198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610618591308594 × 216)
    floor (0.610618591308594 × 65536)
    floor (40017.5)     		tx = 40017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143791198730469 × 216)
    floor (0.143791198730469 × 65536)
    floor (9423.5)     		ty = 9423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40017 / 9423 ti = "16/40017/9423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40017/9423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40017 ÷ 216
    40017 ÷ 65536     		x = 0.610610961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9423 ÷ 216
    9423 ÷ 65536     		y = 0.143783569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610610961914062 × 2 - 1) × π
    0.221221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69498917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143783569335938 × 2 - 1) × π
    0.712432861328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23817384326042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69498917} λ = 0.69498917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23817384326042))-π/2
    2×atan(9.3761932453434)-π/2
    2×1.46454488596261-π/2
    2.92908977192523-1.57079632675     		φ = 1.35829345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69498917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.819946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35829345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.824482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40017 KachelY 9423 0.69498917 1.35829345 39.819946 77.824482
    Oben rechts KachelX + 1 40018 KachelY 9423 0.69508504 1.35829345 39.825439 77.824482
    Unten links KachelX 40017 KachelY + 1 9424 0.69498917 1.35827322 39.819946 77.823323
    Unten rechts KachelX + 1 40018 KachelY + 1 9424 0.69508504 1.35827322 39.825439 77.823323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35829345-1.35827322) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35829345-1.35827322) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69498917-0.69508504) × cos(1.35829345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210907135234547 × 6371000     		do = 128.819498806995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69498917-0.69508504) × cos(1.35827322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210926910139841 × 6371000     		du = 128.831577077301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35829345)-sin(1.35827322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210907135234547-0.210926910139841)×R²
    abs(0.69508504-0.69498917)×1.97749052936735e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97749052936735e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97749052936735e-05×40589641000000     		ar = 16603.7219702721m²