Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40017 / 41295
↖ ↑ ↗
← S 42.354485°
E 39.819946°		 ← 451.37 m → S 42.354485°
E 39.825439°		 →
↑
451.39 m
↓
↑
451.39 m
↓
S 42.358544°
E 39.819946°		 ← 451.34 m →
203 734 m²		 S 42.358544°
E 39.825439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610618591308594 y=0.630119323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610618591308594 × 216)
    floor (0.610618591308594 × 65536)
    floor (40017.5)     		tx = 40017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630119323730469 × 216)
    floor (0.630119323730469 × 65536)
    floor (41295.5)     		ty = 41295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40017 / 41295 ti = "16/40017/41295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40017/41295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40017 ÷ 216
    40017 ÷ 65536     		x = 0.610610961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41295 ÷ 216
    41295 ÷ 65536     		y = 0.630111694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610610961914062 × 2 - 1) × π
    0.221221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69498917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630111694335938 × 2 - 1) × π
    -0.260223388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.817515886120438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69498917} λ = 0.69498917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817515886120438))-π/2
    2×atan(0.441527096930507)-π/2
    2×0.415785558332818-π/2
    0.831571116665635-1.57079632675     		φ = -0.73922521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69498917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.819946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73922521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.354485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40017 KachelY 41295 0.69498917 -0.73922521 39.819946 -42.354485
    Oben rechts KachelX + 1 40018 KachelY 41295 0.69508504 -0.73922521 39.825439 -42.354485
    Unten links KachelX 40017 KachelY + 1 41296 0.69498917 -0.73929606 39.819946 -42.358544
    Unten rechts KachelX + 1 40018 KachelY + 1 41296 0.69508504 -0.73929606 39.825439 -42.358544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73922521--0.73929606) × R
    7.08500000000667e-05 × 6371000     		dl = 451.385350000425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73922521--0.73929606) × R
    7.08500000000667e-05 × 6371000     		dr = 451.385350000425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69498917-0.69508504) × cos(-0.73922521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738990768557211 × 6371000     		do = 451.366523577635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69498917-0.69508504) × cos(-0.73929606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738943033955681 × 6371000     		du = 451.337367866815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73922521)-sin(-0.73929606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738990768557211-0.738943033955681)×R²
    abs(0.69508504-0.69498917)×4.77346015299585e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77346015299585e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77346015299585e-05×40589641000000     		ar = 203733.656078459m²