Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40016 / 9456
↖ ↑ ↗
← N 77.786191°
E 39.814453°		 ← 129.22 m → N 77.786191°
E 39.819946°		 →
↑
129.27 m
↓
↑
129.27 m
↓
N 77.785028°
E 39.814453°		 ← 129.23 m →
16 705 m²		 N 77.785028°
E 39.819946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610603332519531 y=0.144294738769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610603332519531 × 216)
    floor (0.610603332519531 × 65536)
    floor (40016.5)     		tx = 40016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144294738769531 × 216)
    floor (0.144294738769531 × 65536)
    floor (9456.5)     		ty = 9456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40016 / 9456 ti = "16/40016/9456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40016/9456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40016 ÷ 216
    40016 ÷ 65536     		x = 0.610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9456 ÷ 216
    9456 ÷ 65536     		y = 0.144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610595703125 × 2 - 1) × π
    0.22119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69489330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144287109375 × 2 - 1) × π
    0.71142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2350100078855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69489330} λ = 0.69489330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2350100078855))-π/2
    2×atan(9.34657539118488)-π/2
    2×1.4642107318046-π/2
    2.9284214636092-1.57079632675     		φ = 1.35762514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69489330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35762514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.786191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40016 KachelY 9456 0.69489330 1.35762514 39.814453 77.786191
    Oben rechts KachelX + 1 40017 KachelY 9456 0.69498917 1.35762514 39.819946 77.786191
    Unten links KachelX 40016 KachelY + 1 9457 0.69489330 1.35760485 39.814453 77.785028
    Unten rechts KachelX + 1 40017 KachelY + 1 9457 0.69498917 1.35760485 39.819946 77.785028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35762514-1.35760485) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dl = 129.267589999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35762514-1.35760485) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dr = 129.267589999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69489330-0.69498917) × cos(1.35762514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211560365189643 × 6371000     		do = 129.218483674565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69489330-0.69498917) × cos(1.35760485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21158019588058 × 6371000     		du = 129.23059601806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35762514)-sin(1.35760485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211560365189643-0.21158019588058)×R²
    abs(0.69498917-0.69489330)×1.98306909371948e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98306909371948e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98306909371948e-05×40589641000000     		ar = 16704.5448354654m²