Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 40016 / 27760
↖ ↑ ↗
← N 71.427179°
W 70.092774°		 ← 97.28 m → N 71.427179°
W 70.090027°		 →
↑
97.29 m
↓
↑
97.29 m
↓
N 71.426304°
W 70.092774°		 ← 97.29 m →
9 464 m²		 N 71.426304°
W 70.090027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305301666259766 y=0.211795806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305301666259766 × 217)
    floor (0.305301666259766 × 131072)
    floor (40016.5)     		tx = 40016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211795806884766 × 217)
    floor (0.211795806884766 × 131072)
    floor (27760.5)     		ty = 27760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 40016 / 27760 ti = "17/40016/27760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/40016/27760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40016 ÷ 217
    40016 ÷ 131072     		x = 0.3052978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27760 ÷ 217
    27760 ÷ 131072     		y = 0.2117919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3052978515625 × 2 - 1) × π
    -0.389404296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.22334968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2117919921875 × 2 - 1) × π
    0.576416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81086432004724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22334968} λ = -1.22334968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81086432004724))-π/2
    2×atan(6.11573109750388)-π/2
    2×1.40871788726839-π/2
    2.81743577453677-1.57079632675     		φ = 1.24663945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22334968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.092774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24663945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.427179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40016 KachelY 27760 -1.22334968 1.24663945 -70.092774 71.427179
    Oben rechts KachelX + 1 40017 KachelY 27760 -1.22330174 1.24663945 -70.090027 71.427179
    Unten links KachelX 40016 KachelY + 1 27761 -1.22334968 1.24662418 -70.092774 71.426304
    Unten rechts KachelX + 1 40017 KachelY + 1 27761 -1.22330174 1.24662418 -70.090027 71.426304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24663945-1.24662418) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dl = 97.2851700000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24663945-1.24662418) × R
    1.52700000000117e-05 × 6371000     		dr = 97.2851700000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22334968--1.22330174) × cos(1.24663945) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.318509686142494 × 6371000     		do = 97.2810565876258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22334968--1.22330174) × cos(1.24662418) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.318524160837746 × 6371000     		du = 97.2854775321345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24663945)-sin(1.24662418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318509686142494-0.318524160837746)×R²
    abs(-1.22330174--1.22334968)×1.44746952522867e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.44746952522867e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.44746952522867e-05×40589641000000     		ar = 9464.21917426436m²