Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40015 / 41965
↖ ↑ ↗
← S 45.015302°
E 39.808960°		 ← 431.82 m → S 45.015302°
E 39.814453°		 →
↑
431.83 m
↓
↑
431.83 m
↓
S 45.019185°
E 39.808960°		 ← 431.79 m →
186 466 m²		 S 45.019185°
E 39.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610588073730469 y=0.640342712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610588073730469 × 216)
    floor (0.610588073730469 × 65536)
    floor (40015.5)     		tx = 40015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640342712402344 × 216)
    floor (0.640342712402344 × 65536)
    floor (41965.5)     		ty = 41965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40015 / 41965 ti = "16/40015/41965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40015/41965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40015 ÷ 216
    40015 ÷ 65536     		x = 0.610580444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41965 ÷ 216
    41965 ÷ 65536     		y = 0.640335083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610580444335938 × 2 - 1) × π
    0.221160888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69479742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640335083007812 × 2 - 1) × π
    -0.280670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.881751331611313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69479742} λ = 0.69479742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881751331611313))-π/2
    2×atan(0.414057124988619)-π/2
    2×0.392565546653897-π/2
    0.785131093307795-1.57079632675     		φ = -0.78566523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69479742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.808960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78566523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.015302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40015 KachelY 41965 0.69479742 -0.78566523 39.808960 -45.015302
    Oben rechts KachelX + 1 40016 KachelY 41965 0.69489330 -0.78566523 39.814453 -45.015302
    Unten links KachelX 40015 KachelY + 1 41966 0.69479742 -0.78573301 39.808960 -45.019185
    Unten rechts KachelX + 1 40016 KachelY + 1 41966 0.69489330 -0.78573301 39.814453 -45.019185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78566523--0.78573301) × R
    6.77799999999618e-05 × 6371000     		dl = 431.826379999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78566523--0.78573301) × R
    6.77799999999618e-05 × 6371000     		dr = 431.826379999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69479742-0.69489330) × cos(-0.78566523) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.706917911366056 × 6371000     		do = 431.821852396681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69479742-0.69489330) × cos(-0.78573301) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.70686996924645 × 6371000     		du = 431.792566881965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78566523)-sin(-0.78573301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706917911366056-0.70686996924645)×R²
    abs(0.69489330-0.69479742)×4.79421196059038e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79421196059038e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79421196059038e-05×40589641000000     		ar = 186465.744267743m²