Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40012 / 41966
↖ ↑ ↗
← S 45.019185°
E 39.792480°		 ← 431.79 m → S 45.019185°
E 39.797974°		 →
↑
431.70 m
↓
↑
431.70 m
↓
S 45.023068°
E 39.792480°		 ← 431.76 m →
186 398 m²		 S 45.023068°
E 39.797974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610542297363281 y=0.640357971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610542297363281 × 216)
    floor (0.610542297363281 × 65536)
    floor (40012.5)     		tx = 40012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640357971191406 × 216)
    floor (0.640357971191406 × 65536)
    floor (41966.5)     		ty = 41966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40012 / 41966 ti = "16/40012/41966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40012/41966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40012 ÷ 216
    40012 ÷ 65536     		x = 0.61053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41966 ÷ 216
    41966 ÷ 65536     		y = 0.640350341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61053466796875 × 2 - 1) × π
    0.2210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69450980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640350341796875 × 2 - 1) × π
    -0.28070068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.881847205410553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69450980} λ = 0.69450980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881847205410553))-π/2
    2×atan(0.414017429661845)-π/2
    2×0.392531660350032-π/2
    0.785063320700063-1.57079632675     		φ = -0.78573301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69450980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.792480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78573301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.019185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40012 KachelY 41966 0.69450980 -0.78573301 39.792480 -45.019185
    Oben rechts KachelX + 1 40013 KachelY 41966 0.69460568 -0.78573301 39.797974 -45.019185
    Unten links KachelX 40012 KachelY + 1 41967 0.69450980 -0.78580077 39.792480 -45.023068
    Unten rechts KachelX + 1 40013 KachelY + 1 41967 0.69460568 -0.78580077 39.797974 -45.023068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78573301--0.78580077) × R
    6.77600000000833e-05 × 6371000     		dl = 431.698960000531m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78573301--0.78580077) × R
    6.77600000000833e-05 × 6371000     		dr = 431.698960000531m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69450980-0.69460568) × cos(-0.78573301) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.70686996924645 × 6371000     		do = 431.792566881965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69450980-0.69460568) × cos(-0.78580077) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.706822038027221 × 6371000     		du = 431.763288025761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78573301)-sin(-0.78580077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70686996924645-0.706822038027221)×R²
    abs(0.69460568-0.69450980)×4.79312192290804e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.79312192290804e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.79312192290804e-05×40589641000000     		ar = 186398.082304281m²