Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40011 / 9457
↖ ↑ ↗
← N 77.785028°
E 39.786987°		 ← 129.23 m → N 77.785028°
E 39.792480°		 →
↑
129.20 m
↓
↑
129.20 m
↓
N 77.783866°
E 39.786987°		 ← 129.24 m →
16 698 m²		 N 77.783866°
E 39.792480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610527038574219 y=0.144309997558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610527038574219 × 216)
    floor (0.610527038574219 × 65536)
    floor (40011.5)     		tx = 40011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144309997558594 × 216)
    floor (0.144309997558594 × 65536)
    floor (9457.5)     		ty = 9457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40011 / 9457 ti = "16/40011/9457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40011/9457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40011 ÷ 216
    40011 ÷ 65536     		x = 0.610519409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9457 ÷ 216
    9457 ÷ 65536     		y = 0.144302368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610519409179688 × 2 - 1) × π
    0.221038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69441393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144302368164062 × 2 - 1) × π
    0.711395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23491413408626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69441393} λ = 0.69441393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23491413408626))-π/2
    2×atan(9.34567934244673)-π/2
    2×1.46420058978129-π/2
    2.92840117956259-1.57079632675     		φ = 1.35760485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69441393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.786987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35760485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.785028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40011 KachelY 9457 0.69441393 1.35760485 39.786987 77.785028
    Oben rechts KachelX + 1 40012 KachelY 9457 0.69450980 1.35760485 39.792480 77.785028
    Unten links KachelX 40011 KachelY + 1 9458 0.69441393 1.35758457 39.786987 77.783866
    Unten rechts KachelX + 1 40012 KachelY + 1 9458 0.69450980 1.35758457 39.792480 77.783866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35760485-1.35758457) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dl = 129.203879999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35760485-1.35758457) × R
    2.02799999999836e-05 × 6371000     		dr = 129.203879999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69441393-0.69450980) × cos(1.35760485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21158019588058 × 6371000     		do = 129.23059601806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69441393-0.69450980) × cos(1.35758457) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21160001671085 × 6371000     		du = 129.24270233878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35760485)-sin(1.35758457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21158019588058-0.21160001671085)×R²
    abs(0.69450980-0.69441393)×1.9820830269579e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9820830269579e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9820830269579e-05×40589641000000     		ar = 16697.8765124338m²