Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40011 / 41963
↖ ↑ ↗
← S 45.007535°
E 39.786987°		 ← 431.84 m → S 45.007535°
E 39.792480°		 →
↑
431.89 m
↓
↑
431.89 m
↓
S 45.011419°
E 39.786987°		 ← 431.81 m →
186 499 m²		 S 45.011419°
E 39.792480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610527038574219 y=0.640312194824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610527038574219 × 216)
    floor (0.610527038574219 × 65536)
    floor (40011.5)     		tx = 40011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640312194824219 × 216)
    floor (0.640312194824219 × 65536)
    floor (41963.5)     		ty = 41963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40011 / 41963 ti = "16/40011/41963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40011/41963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40011 ÷ 216
    40011 ÷ 65536     		x = 0.610519409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41963 ÷ 216
    41963 ÷ 65536     		y = 0.640304565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610519409179688 × 2 - 1) × π
    0.221038818359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69441393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640304565429688 × 2 - 1) × π
    -0.280609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.881559584012833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69441393} λ = 0.69441393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881559584012833))-π/2
    2×atan(0.414136527060304)-π/2
    2×0.392633326155467-π/2
    0.785266652310933-1.57079632675     		φ = -0.78552967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69441393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.786987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78552967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.007535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40011 KachelY 41963 0.69441393 -0.78552967 39.786987 -45.007535
    Oben rechts KachelX + 1 40012 KachelY 41963 0.69450980 -0.78552967 39.792480 -45.007535
    Unten links KachelX 40011 KachelY + 1 41964 0.69441393 -0.78559746 39.786987 -45.011419
    Unten rechts KachelX + 1 40012 KachelY + 1 41964 0.69450980 -0.78559746 39.792480 -45.011419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78552967--0.78559746) × R
    6.7790000000012e-05 × 6371000     		dl = 431.890090000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78552967--0.78559746) × R
    6.7790000000012e-05 × 6371000     		dr = 431.890090000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69441393-0.69450980) × cos(-0.78552967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707013785862033 × 6371000     		do = 431.835373625919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69441393-0.69450980) × cos(-0.78559746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.706965843165514 × 6371000     		du = 431.806090813224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78552967)-sin(-0.78559746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707013785862033-0.706965843165514)×R²
    abs(0.69450980-0.69441393)×4.79426965193097e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79426965193097e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79426965193097e-05×40589641000000     		ar = 186499.094973601m²