Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40009 / 41961
↖ ↑ ↗
← S 44.999767°
E 39.776001°		 ← 431.89 m → S 44.999767°
E 39.781494°		 →
↑
431.89 m
↓
↑
431.89 m
↓
S 45.003651°
E 39.776001°		 ← 431.86 m →
186 524 m²		 S 45.003651°
E 39.781494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610496520996094 y=0.640281677246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610496520996094 × 216)
    floor (0.610496520996094 × 65536)
    floor (40009.5)     		tx = 40009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640281677246094 × 216)
    floor (0.640281677246094 × 65536)
    floor (41961.5)     		ty = 41961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40009 / 41961 ti = "16/40009/41961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40009/41961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40009 ÷ 216
    40009 ÷ 65536     		x = 0.610488891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41961 ÷ 216
    41961 ÷ 65536     		y = 0.640274047851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610488891601562 × 2 - 1) × π
    0.220977783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69422218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640274047851562 × 2 - 1) × π
    -0.280548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881367836414352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69422218} λ = 0.69422218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881367836414352))-π/2
    2×atan(0.414215944358606)-π/2
    2×0.392701114848821-π/2
    0.785402229697642-1.57079632675     		φ = -0.78539410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69422218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.776001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78539410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.999767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40009 KachelY 41961 0.69422218 -0.78539410 39.776001 -44.999767
    Oben rechts KachelX + 1 40010 KachelY 41961 0.69431805 -0.78539410 39.781494 -44.999767
    Unten links KachelX 40009 KachelY + 1 41962 0.69422218 -0.78546189 39.776001 -45.003651
    Unten rechts KachelX + 1 40010 KachelY + 1 41962 0.69431805 -0.78546189 39.781494 -45.003651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78539410--0.78546189) × R
    6.7790000000012e-05 × 6371000     		dl = 431.890090000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78539410--0.78546189) × R
    6.7790000000012e-05 × 6371000     		dr = 431.890090000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69422218-0.69431805) × cos(-0.78539410) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7071096544366 × 6371000     		do = 431.893928978792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69422218-0.69431805) × cos(-0.78546189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707061718237963 × 6371000     		du = 431.864650134924m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78539410)-sin(-0.78546189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7071096544366-0.707061718237963)×R²
    abs(0.69431805-0.69422218)×4.79361986371885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79361986371885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79361986371885e-05×40589641000000     		ar = 186524.385307149m²