Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40004 / 41932
↖ ↑ ↗
← S 44.887013°
E 39.748535°		 ← 432.79 m → S 44.887013°
E 39.754029°		 →
↑
432.72 m
↓
↑
432.72 m
↓
S 44.890904°
E 39.748535°		 ← 432.76 m →
187 269 m²		 S 44.890904°
E 39.754029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610420227050781 y=0.639839172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610420227050781 × 216)
    floor (0.610420227050781 × 65536)
    floor (40004.5)     		tx = 40004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639839172363281 × 216)
    floor (0.639839172363281 × 65536)
    floor (41932.5)     		ty = 41932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40004 / 41932 ti = "16/40004/41932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40004/41932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40004 ÷ 216
    40004 ÷ 65536     		x = 0.61041259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41932 ÷ 216
    41932 ÷ 65536     		y = 0.63983154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61041259765625 × 2 - 1) × π
    0.2208251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69374281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63983154296875 × 2 - 1) × π
    -0.2796630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.878587496236389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69374281} λ = 0.69374281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878587496236389))-π/2
    2×atan(0.415369208080868)-π/2
    2×0.393685083828084-π/2
    0.787370167656167-1.57079632675     		φ = -0.78342616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69374281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.748535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78342616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.887013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40004 KachelY 41932 0.69374281 -0.78342616 39.748535 -44.887013
    Oben rechts KachelX + 1 40005 KachelY 41932 0.69383869 -0.78342616 39.754029 -44.887013
    Unten links KachelX 40004 KachelY + 1 41933 0.69374281 -0.78349408 39.748535 -44.890904
    Unten rechts KachelX + 1 40005 KachelY + 1 41933 0.69383869 -0.78349408 39.754029 -44.890904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78342616--0.78349408) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dl = 432.718319999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78342616--0.78349408) × R
    6.79199999999991e-05 × 6371000     		dr = 432.718319999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69374281-0.69383869) × cos(-0.78342616) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.708499822360578 × 6371000     		do = 432.788165068413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69374281-0.69383869) × cos(-0.78349408) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.70845188883596 × 6371000     		du = 432.758884803958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78342616)-sin(-0.78349408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708499822360578-0.70845188883596)×R²
    abs(0.69383869-0.69374281)×4.79335246184043e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.79335246184043e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.79335246184043e-05×40589641000000     		ar = 187269.032722893m²