Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40002 / 9314
↖ ↑ ↗
← N 77.950121°
E 39.737549°		 ← 127.52 m → N 77.950121°
E 39.743042°		 →
↑
127.55 m
↓
↑
127.55 m
↓
N 77.948974°
E 39.737549°		 ← 127.54 m →
16 266 m²		 N 77.948974°
E 39.743042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610389709472656 y=0.142127990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610389709472656 × 216)
    floor (0.610389709472656 × 65536)
    floor (40002.5)     		tx = 40002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142127990722656 × 216)
    floor (0.142127990722656 × 65536)
    floor (9314.5)     		ty = 9314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40002 / 9314 ti = "16/40002/9314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40002/9314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40002 ÷ 216
    40002 ÷ 65536     		x = 0.610382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9314 ÷ 216
    9314 ÷ 65536     		y = 0.142120361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610382080078125 × 2 - 1) × π
    0.22076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69355106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142120361328125 × 2 - 1) × π
    0.71575927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24862408737759
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69355106} λ = 0.69355106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24862408737759))-π/2
    2×atan(9.47469051753069)-π/2
    2×1.46564129110606-π/2
    2.93128258221211-1.57079632675     		φ = 1.36048626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69355106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.737549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36048626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.950121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40002 KachelY 9314 0.69355106 1.36048626 39.737549 77.950121
    Oben rechts KachelX + 1 40003 KachelY 9314 0.69364694 1.36048626 39.743042 77.950121
    Unten links KachelX 40002 KachelY + 1 9315 0.69355106 1.36046624 39.737549 77.948974
    Unten rechts KachelX + 1 40003 KachelY + 1 9315 0.69364694 1.36046624 39.743042 77.948974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36048626-1.36046624) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dl = 127.54742000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36048626-1.36046624) × R
    2.00200000000095e-05 × 6371000     		dr = 127.54742000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69355106-0.69364694) × cos(1.36048626) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208763144731464 × 6371000     		do = 127.523275928733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69355106-0.69364694) × cos(1.36046624) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.208782723573575 × 6371000     		du = 127.535235693413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36048626)-sin(1.36046624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208763144731464-0.208782723573575)×R²
    abs(0.69364694-0.69355106)×1.9578842111484e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.9578842111484e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.9578842111484e-05×40589641000000     		ar = 16266.0275538655m²