Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 40 / 21
↖ ↑ ↗
← N 81.723188°
W123.750000°		 ← 22.510 km → N 81.723188°
W122.343750°		 →
↑
22.786 km
↓
↑
22.786 km
↓
N 81.518272°
W123.750000°		 ← 23.063 km →
519.209 km²		 N 81.518272°
W122.343750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158203125 y=0.083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158203125 × 28)
    floor (0.158203125 × 256)
    floor (40.5)     		tx = 40
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.083984375 × 28)
    floor (0.083984375 × 256)
    floor (21.5)     		ty = 21
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 40 / 21 ti = "8/40/21"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/40/21.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40 ÷ 28
    40 ÷ 256     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21 ÷ 28
    21 ÷ 256     		y = 0.08203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08203125 × 2 - 1) × π
    0.8359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.62617510878516
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.62617510878516))-π/2
    2×atan(13.8208055974377)-π/2
    2×1.49856751297347-π/2
    2.99713502594695-1.57079632675     		φ = 1.42633870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42633870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.723188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40 KachelY 21 -2.15984495 1.42633870 -123.750000 81.723188
    Oben rechts KachelX + 1 41 KachelY 21 -2.13530126 1.42633870 -122.343750 81.723188
    Unten links KachelX 40 KachelY + 1 22 -2.15984495 1.42276224 -123.750000 81.518272
    Unten rechts KachelX + 1 41 KachelY + 1 22 -2.13530126 1.42276224 -122.343750 81.518272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42633870-1.42276224) × R
    0.00357646000000011 × 6371000     		dl = 22785.6266600007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42633870-1.42276224) × R
    0.00357646000000011 × 6371000     		dr = 22785.6266600007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.13530126) × cos(1.42633870) × R
    0.0245436900000002 × 0.143955726994628 × 6371000     		do = 22510.0473799419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.13530126) × cos(1.42276224) × R
    0.0245436900000002 × 0.147494006831501 × 6371000     		du = 23063.3205871584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42633870)-sin(1.42276224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143955726994628-0.147494006831501)×R²
    abs(-2.13530126--2.15984495)×0.00353827983687319×R²
    0.0245436900000002×0.00353827983687319×6371000²
    0.0245436900000002×0.00353827983687319×40589641000000     		ar = 519209427.505601m²