Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39997 / 9311
↖ ↑ ↗
← N 77.953560°
E 39.710083°		 ← 127.49 m → N 77.953560°
E 39.715576°		 →
↑
127.48 m
↓
↑
127.48 m
↓
N 77.952414°
E 39.710083°		 ← 127.50 m →
16 253 m²		 N 77.952414°
E 39.715576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610313415527344 y=0.142082214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610313415527344 × 216)
    floor (0.610313415527344 × 65536)
    floor (39997.5)     		tx = 39997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142082214355469 × 216)
    floor (0.142082214355469 × 65536)
    floor (9311.5)     		ty = 9311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39997 / 9311 ti = "16/39997/9311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39997/9311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39997 ÷ 216
    39997 ÷ 65536     		x = 0.610305786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9311 ÷ 216
    9311 ÷ 65536     		y = 0.142074584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610305786132812 × 2 - 1) × π
    0.220611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69307169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142074584960938 × 2 - 1) × π
    0.715850830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24891170877531
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69307169} λ = 0.69307169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24891170877531))-π/2
    2×atan(9.47741603319984)-π/2
    2×1.46567130925841-π/2
    2.93134261851682-1.57079632675     		φ = 1.36054629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69307169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.710083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36054629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.953560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39997 KachelY 9311 0.69307169 1.36054629 39.710083 77.953560
    Oben rechts KachelX + 1 39998 KachelY 9311 0.69316757 1.36054629 39.715576 77.953560
    Unten links KachelX 39997 KachelY + 1 9312 0.69307169 1.36052628 39.710083 77.952414
    Unten rechts KachelX + 1 39998 KachelY + 1 9312 0.69316757 1.36052628 39.715576 77.952414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36054629-1.36052628) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dl = 127.483710000448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36054629-1.36052628) × R
    2.00100000000702e-05 × 6371000     		dr = 127.483710000448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69307169-0.69316757) × cos(1.36054629) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.208704437042489 × 6371000     		do = 127.487414249888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69307169-0.69316757) × cos(1.36052628) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.208724006355723 × 6371000     		du = 127.499368193839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36054629)-sin(1.36052628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208704437042489-0.208724006355723)×R²
    abs(0.69316757-0.69307169)×1.95693132338803e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.95693132338803e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.95693132338803e-05×40589641000000     		ar = 16253.3305140226m²