Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39992 / 41942
↖ ↑ ↗
← S 44.925918°
E 39.682617°		 ← 432.45 m → S 44.925918°
E 39.688110°		 →
↑
432.46 m
↓
↑
432.46 m
↓
S 44.929807°
E 39.682617°		 ← 432.42 m →
187 013 m²		 S 44.929807°
E 39.688110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610237121582031 y=0.639991760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610237121582031 × 216)
    floor (0.610237121582031 × 65536)
    floor (39992.5)     		tx = 39992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639991760253906 × 216)
    floor (0.639991760253906 × 65536)
    floor (41942.5)     		ty = 41942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39992 / 41942 ti = "16/39992/41942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39992/41942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39992 ÷ 216
    39992 ÷ 65536     		x = 0.6102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41942 ÷ 216
    41942 ÷ 65536     		y = 0.639984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6102294921875 × 2 - 1) × π
    0.220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69259233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.27996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87954623422879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69259233} λ = 0.69259233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87954623422879))-π/2
    2×atan(0.414971168678446)-π/2
    2×0.39334556587575-π/2
    0.7866911317515-1.57079632675     		φ = -0.78410519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69259233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.682617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78410519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.925918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39992 KachelY 41942 0.69259233 -0.78410519 39.682617 -44.925918
    Oben rechts KachelX + 1 39993 KachelY 41942 0.69268820 -0.78410519 39.688110 -44.925918
    Unten links KachelX 39992 KachelY + 1 41943 0.69259233 -0.78417307 39.682617 -44.929807
    Unten rechts KachelX + 1 39993 KachelY + 1 41943 0.69268820 -0.78417307 39.688110 -44.929807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78410519--0.78417307) × R
    6.78800000000201e-05 × 6371000     		dl = 432.463480000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78410519--0.78417307) × R
    6.78800000000201e-05 × 6371000     		dr = 432.463480000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69259233-0.69268820) × cos(-0.78410519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.708020460125556 × 6371000     		do = 432.450237954453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69259233-0.69268820) × cos(-0.78417307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707972522186884 × 6371000     		du = 432.420958047793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78410519)-sin(-0.78417307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708020460125556-0.707972522186884)×R²
    abs(0.69268820-0.69259233)×4.79379386718604e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79379386718604e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79379386718604e-05×40589641000000     		ar = 187012.603659161m²