Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39991 / 41950
↖ ↑ ↗
← S 44.957024°
E 39.677124°		 ← 432.26 m → S 44.957024°
E 39.682617°		 →
↑
432.21 m
↓
↑
432.21 m
↓
S 44.960911°
E 39.677124°		 ← 432.23 m →
186 821 m²		 S 44.960911°
E 39.682617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39991 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610221862792969 y=0.640113830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610221862792969 × 216)
    floor (0.610221862792969 × 65536)
    floor (39991.5)     		tx = 39991
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640113830566406 × 216)
    floor (0.640113830566406 × 65536)
    floor (41950.5)     		ty = 41950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39991 / 41950 ti = "16/39991/41950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39991/41950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39991 ÷ 216
    39991 ÷ 65536     		x = 0.610214233398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41950 ÷ 216
    41950 ÷ 65536     		y = 0.640106201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610214233398438 × 2 - 1) × π
    0.220428466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69249645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640106201171875 × 2 - 1) × π
    -0.28021240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.880313224622711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69249645} λ = 0.69249645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880313224622711))-π/2
    2×atan(0.414653011805545)-π/2
    2×0.393074116965407-π/2
    0.786148233930814-1.57079632675     		φ = -0.78464809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69249645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.677124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78464809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.957024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39991 KachelY 41950 0.69249645 -0.78464809 39.677124 -44.957024
    Oben rechts KachelX + 1 39992 KachelY 41950 0.69259233 -0.78464809 39.682617 -44.957024
    Unten links KachelX 39991 KachelY + 1 41951 0.69249645 -0.78471593 39.677124 -44.960911
    Unten rechts KachelX + 1 39992 KachelY + 1 41951 0.69259233 -0.78471593 39.682617 -44.960911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78464809--0.78471593) × R
    6.78399999999302e-05 × 6371000     		dl = 432.208639999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78464809--0.78471593) × R
    6.78399999999302e-05 × 6371000     		dr = 432.208639999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69249645-0.69259233) × cos(-0.78464809) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.707636964209838 × 6371000     		do = 432.261086890003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69249645-0.69259233) × cos(-0.78471593) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.707589028452077 × 6371000     		du = 432.23180526143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78464809)-sin(-0.78471593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707636964209838-0.707589028452077)×R²
    abs(0.69259233-0.69249645)×4.7935757760742e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7935757760742e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7935757760742e-05×40589641000000     		ar = 186820.648674553m²