Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 39990 / 41943
↖ ↑ ↗
← S 44.929807°
E 39.671631°		 ← 432.42 m → S 44.929807°
E 39.677124°		 →
↑
432.46 m
↓
↑
432.46 m
↓
S 44.933697°
E 39.671631°		 ← 432.39 m →
187 000 m²		 S 44.933697°
E 39.677124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610206604003906 y=0.640007019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610206604003906 × 216)
    floor (0.610206604003906 × 65536)
    floor (39990.5)     		tx = 39990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640007019042969 × 216)
    floor (0.640007019042969 × 65536)
    floor (41943.5)     		ty = 41943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39990 / 41943 ti = "16/39990/41943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39990/41943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39990 ÷ 216
    39990 ÷ 65536     		x = 0.610198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41943 ÷ 216
    41943 ÷ 65536     		y = 0.639999389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610198974609375 × 2 - 1) × π
    0.22039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69240058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639999389648438 × 2 - 1) × π
    -0.279998779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87964210802803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69240058} λ = 0.69240058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87964210802803))-π/2
    2×atan(0.414931385723031)-π/2
    2×0.393311626719164-π/2
    0.786623253438329-1.57079632675     		φ = -0.78417307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69240058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.671631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78417307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.929807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39990 KachelY 41943 0.69240058 -0.78417307 39.671631 -44.929807
    Oben rechts KachelX + 1 39991 KachelY 41943 0.69249645 -0.78417307 39.677124 -44.929807
    Unten links KachelX 39990 KachelY + 1 41944 0.69240058 -0.78424095 39.671631 -44.933697
    Unten rechts KachelX + 1 39991 KachelY + 1 41944 0.69249645 -0.78424095 39.677124 -44.933697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78417307--0.78424095) × R
    6.78800000000201e-05 × 6371000     		dl = 432.463480000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78417307--0.78424095) × R
    6.78800000000201e-05 × 6371000     		dr = 432.463480000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69240058-0.69249645) × cos(-0.78417307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707972522186884 × 6371000     		do = 432.420958047793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69240058-0.69249645) × cos(-0.78424095) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.707924580986091 × 6371000     		du = 432.391676148669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78417307)-sin(-0.78424095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707972522186884-0.707924580986091)×R²
    abs(0.69249645-0.69240058)×4.79412007929891e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79412007929891e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79412007929891e-05×40589641000000     		ar = 186999.940738132m²